泰勒公式

泰勒(Taylor)中值定理1: 如果函数f(x)在 $x_0$ 处具有n阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内一 $x$ ，有：

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$

泰勒中值定理2: 如果函数f(x)在 $x_0$ 某个邻域 $U(x_0)$ 内具有 $(n+1)$ 阶导数，那么对应任一 $x \in U(x_0)$ ，有：

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$R_n(x)=f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}$

这里 $\xi$ 是 $x$ 与 $x_0$ 之间的某个值。
此公式也被称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（或按 $(x-x_0)$ 的幂展开）的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式，而 $R_n(x)$ 的表达式被称为拉格朗日余项。

在泰勒中值定理1中，如果取 $x_0=0$ ，那么带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式：

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$

在泰勒定理2中，如果取 $x_0=0$ ，那么 $\xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间，因此可以令 $\xi=\theta x$ (0< $\theta$ <1)，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{(n+1)}$ (0<x<1)

$f(x)=e^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!},$

证明：
$\because f'(x)=f''(x)=\dots=f^{(n)}=e^x,$
$\therefore f(0)=f'(0)=f''(0)=\dots=f^{(n)}(0)=1,$
$\therefore e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{(n+1)}.$
当 $x=1$ 时

$f(1)=e\approx 1+1+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}.$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}(x),$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+R_{2m+1}(x),$
$\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1},$

证明：
$\because \arctan' x=\frac{1}{1+x^2} =\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum_{k=0}^{\infty}(-x^2)^k=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^{2k};$
$\therefore \arctan x =\int \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^{2k}dx =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\int x^{2k}dx =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

泰勒(Taylor)中值定理1: 如果函数f(x)在处具有n阶导数，那么存在的一个邻域，对于该邻域内一，有：

泰勒中值定理2: 如果函数f(x)在某个邻域内具有阶导数，那么对应任一，有：

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泰勒中值定理2: 如果函数f(x)在 $x_0$ 某个邻域 $U(x_0)$ 内具有 $(n+1)$ 阶导数，那么对应任一 $x \in U(x_0)$ ，有：