泰勒公式

泰勒(Taylor)中值定理1: 如果函数f(x)在 $x_0$ 处具有n阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内一 $x$ ，有：

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$

泰勒中值定理2: 如果函数f(x)在 $x_0$ 某个邻域 $U(x_0)$ 内具有 $(n+1)$ 阶导数，那么对应任一 $x \in U(x_0)$ ，有：

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$R_n(x)=f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}$

这里 $\xi$ 是 $x$ 与 $x_0$ 之间的某个值。
此公式也被称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处（或按 $(x-x_0)$ 的幂展开）的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式，而 $R_n(x)$ 的表达式被称为拉格朗日余项。

在泰勒中值定理1中，如果取 $x_0=0$ ，那么带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式：

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$

在泰勒定理2中，如果取 $x_0=0$ ，那么 $\xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间，因此可以令 $\xi=\theta x$ (0< $\theta$ <1)，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{(n+1)}$ (0<x<1)

$f(x)=e^x \approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!},$

证明：
$\because f'(x)=f''(x)=\dots=f^{(n)}=e^x,$
$\therefore f(0)=f'(0)=f''(0)=\dots=f^{(n)}(0)=1,$
$\therefore e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{(n+1)}.$
当 $x=1$ 时

$f(1)=e\approx 1+1+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}.$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}(x),$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+R_{2m+1}(x),$
$\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1},$

证明：
$\because \arctan' x=\frac{1}{1+x^2} =\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum_{k=0}^{\infty}(-x^2)^k=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^{2k};$
$\therefore \arctan x =\int \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^{2k}dx =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\int x^{2k}dx =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 216,843评论 6赞 502
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,538评论 3赞 392
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 163,187评论 0赞 353
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,264评论 1赞 292
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,289评论 6赞 390
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,231评论 1赞 299
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,116评论 3赞 418
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,945评论 0赞 275
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,367评论 1赞 313
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,581评论 2赞 333
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,754评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,458评论 5赞 344
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,068评论 3赞 327
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,692评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,842评论 1赞 269
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,797评论 2赞 369
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,654评论 2赞 354

泰勒公式

泰勒(Taylor)中值定理1: 如果函数f(x)在处具有n阶导数，那么存在的一个邻域，对于该邻域内一，有：

泰勒中值定理2: 如果函数f(x)在某个邻域内具有阶导数，那么对应任一，有：

推荐阅读更多精彩内容

泰勒(Taylor)中值定理1: 如果函数f(x)在 $x_0$ 处具有n阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内一 $x$ ，有：

泰勒中值定理2: 如果函数f(x)在 $x_0$ 某个邻域 $U(x_0)$ 内具有 $(n+1)$ 阶导数，那么对应任一 $x \in U(x_0)$ ，有：