在介绍数列极限之前先来阐述下实数连续性，因为数列中数是实数。
人们对数的认识开始是从自然数开始的，自然数对于加法、乘法都是封闭的，到期对于减法不封闭，数系扩充到整数，这样加减乘都是封闭的，但是除法运算不封闭，然后数系扩充到有理数。
但是有理数对于开方计算是不封闭的，毕达哥拉斯学派的理论是建立在可公度的基础上的，即两个数之比可以用有理数表示，但是现在根号2是没法用有理数表示的，即不可共度的。这也就是第一次数学危机的诞生。
从几何上看，整数在数轴上是离散的，有理数是稠密的，但是并不能完全覆盖数轴，因为我们可以在数轴上画个边长为1的正方形■，然后它的对角线是无法与有理数对应的，所以说有理数是稠密的，但是对应到数轴还是有空隙的，数轴上的点并不都是有理数。我们想到一个自然的扩充思想。
有理数可以表示为有限小数和无限循环小数，那么我们定义无限不循环小数为无理数，这样把无理数与有理数凑到一起构成新的集合，实数集。实数集中的元素与数轴上的点是一一对应的，或者说实数集中的元素布满整个数轴不留空隙，这就是实数的连续性。
关于实数的连续性定理证明，我们需证明确界存在定理证明，这个定理也就是实数的连续性定理，至于是为什么呢？后面会有解释。
以证明有上界的集合必有上确界为例子证明，先解释一下上确界，通俗讲就是集合最小的上界。我们假设非空、实数集合S，若存在 m属于R，使得S集合中的任何元素都小于m，则m为集合S的一个上界。可以想象S有无穷多个上界，把这个上界的集合我们单独拿出来记为U,这个上界的集合中没有最大数，但是有最小数（这是需要证明的），把它记作集合S的上确界，也就是说有上界的集合具有上确界（需证明）
证明思想就是找到这个数，然后说明它是上确界。假设S为非空数集有上界，然后我们把S中的数都写成整数+无限小数形式。即分为整数部分和小数部分，规定小数部分两个约定，一个是有限小数后面添零变成无限小数，一个是对于0.99999.... =1的问题，若出现9 的循环，向前进一。
我们把集合中整数部分最大的数找出来，因为数集是非空有上界的，所以一定能找到整数部分最大的数记为a0。然后我们在S中把整数部分是a0元素取出来，然后凑成新的集合S0.那么如果一个数x属于S,不属于S0那么这个数肯定小于a0
同样的，把S0元素小数表示中第一位小数最大数记为a1,把S0中第一位小数是a1的所有数提取出来凑成集合S1.……把Sn-1中小数表示的第n个小数的最大数记为an,同样把Sn-1几个钟第n位小数是an的数提出来构成集合Sn. ......
这样我们的到一串集合Sn<Sn-1……S
β＝α0+0.α1 α2 …αn…，先证明他就是上确界
(1).先证明β是上界。对于集合S中的元素，无非就两种情况，一种是存在n0，使得x属于S，但不属于Sn0，这种情况下的x＜α0+0.α1 α2 …αn0＜＝β。另一种是任意n，都有x属于Sn，这种情况下x＝β。所以在这两种情况下β是S的上界。
(2). 在证明其为上确界。对任意一不西弄＞零，证明β-一步西弄不是上界。我们取满足1/10n0次方＜一不西弄的n0. 这时可以取到的。我们取Sn0，对于其中的元素x，β-x＜1/10n0次方＜一不西弄。所以就在Sn0中找到了元素x＞β—一不西弄。所以β是上确界。
到此就证明了实数连续性定理，为什么说确界定理是实数连续性定理呢？我们可以想想，假设在数轴上有一个点是空隙，不是有理数也不是无理数，那么空隙左边就没有上确界，空隙右边就没有下确界。这与确界定理中有上界的必有上确界，有下界的必有下确界相矛盾，所以假设错误，这体现了实数与数轴上点一一对应的关系。
