拉格朗日的方法论
欧拉的工作引起了拉格朗日的注意，1750年19岁的拉格朗日对变分法问题产生了兴趣，他放弃了伯努利兄弟和欧拉的几何-分析论证，引入了纯分析的方法。1755年他得出了一个系统的一般性方法，在给欧拉的信中他称为变分方法(the method of variation)，次年欧拉在提交给柏林科学院中的论文中称之为变分法(the calculus of variation)
对变分法基本问题：使积分dx)
极大或极小，拉格朗日的创新是引进通过端点(x1,y1)(x2,y2)的新曲线，他把新曲线表示为y(x)+δy(x),他引入δ符号表示整个曲线y(x)的变分，从而得到-f(x%2Cy%2Cy%5E%2C%20)%20%5Cright%5C%7Ddx)
，然后通过泰勒展开得到J的一次变分δJ和二次变分δ^2J等等。拉格朗日接着论证和单变量函数一样，对于极大化函数y(x)有δJ=0。他还说δy'=d(δy)/dx，即运算d和δ的次序可以交换，然后他下结论说δy系数必须为0，或者说%3D0)
，欧拉曾经得到该方程，这是y(x)的必要非充分条件。在拉格朗日后100年内，关于δy=0的事实要么被大家直观地接受，要么错误地证明，连柯西的证明也不充分，1848年Pierre Frédéric Sarrus给出了第一个正确的证明。这个结果是变分法基本引理。
1760/1761年拉格朗日首次推导出具有变动端点问题的极小化曲线必须满足的端点条件，还找到了在极小化曲线和固定曲线或曲面交点处必须成立的横截性条件。拉格朗日的第二个创新是这篇论文中提到的与重积分相关的问题：积分形式为dxdy)
,z是x,y的函数,p,q分别是z对x,y的偏微分，要求使J达到极大或极小的函数z(x,y)。在这类重积分问题中，最重要的问题是边界以某种方式固定时求面积最小的曲面，比如在空间中给出两条不自交的闭曲线，然后求这两条曲线界住的面积最小的曲面（旋转曲面）。1744年欧拉解决了边界为平行于yz平面而中心在x轴上的圆周曲线的特殊情况。拉格朗日用了类似上文的方法得到了取极小时z(x,y)必须满足的微分方程，用记号改写后得到的偏微分方程称为蒙日方程：Rr+Ss+Tt=U（见十八世纪的偏微分方程（六）），这个方程不易求解，是欧拉时代以前的研究课题。拉格朗日给出了极小曲面问题中%5E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20dxdy)
，偏微分方程为r-2pqs%2B(1%2Bp%5E2)t%3D0)
,1785年梅斯尼埃指出这个偏微分方程表示：在极小化曲面的任一点上，主曲率半径是相等而反向的，或者说平均曲率（主曲率的平均值）为0。
1770年拉格朗日研究了被积函数中有高阶导数的单重和多重积分，自拉格朗日后这个课题发展为变分法的标准内容，它的原理跟上文一样。
除了欧拉和拉格朗日，变分法没有得到同时代其他数学家的理解。欧拉在许多著作中阐述拉格朗日的方法，并用这个方法阐述了几个之前有的结果。虽然他认识到变分法是新分支或者是用δ运算符的新技巧，但他和拉格朗日一样试图在普通微积分的基础上建立变分法的逻辑，他引入参数t，把δy表述成关于t的偏微商，得到了相同的结果。
1779年欧拉继续研究具有极大或极小性质的空间曲线，1780年他研究了三维空间中外力（通常是重力）作用或存在阻尼介质时的最速降线问题。
