1. 与简单线性回归区别(simple linear regression)

多个自变量(x)

2. 多元回归模型

y=β₀＋β_１x₁+β₂x₂+ ... +β_px_p+ε

其中：β_0，β_１，β₂... β_p是参数

_{ε是误差值}

3. 多元回归方程

E(y)=β₀＋β_１x₁+β₂x₂+ ... +β_px_p

4. 估计多元回归方程:

_{y_hat=b0＋b１x1+b2x2+ ... +bpxp}

一个样本被用来计算β_0，β_１，β₂... β_p的点估计b_0, b_1, b_2,..., b_p

5. 估计流程 (与简单线性回归类似）

6. 估计方法

使sum of squares最小

运算与简单线性回归类似，涉及到线性代数和矩阵代数的运算

7. 例子

一家快递公司送货：X1： 运输里程 X2： 运输次数 Y：总运输时间

Time = b0+ b1*Miles + b2 * Deliveries

Time = -0.869 + 0.0611 Miles + 0.923 Deliveries

8. 描述参数含义

b0: 平均每多运送一英里，运输时间延长0.0611 小时

b1: 平均每多一次运输，运输时间延长 0.923 小时

9. 预测

如果一个运输任务是跑102英里，运输6次，预计多少小时？

Time = -0.869 +0.0611 *102+ 0.923 * 6 = 10.9 (小时）

10. 如果自变量中有分类型变量(categorical data) , 如何处理？

| 英里数 | 次数 | 车型 | 时间 |
| 100 | 4 | 1 | 9.3 |
| 50 | 3 | 0 | 4.8 |
| 100 | 4 | 1 | 8.9 |
| 100 | 2 | 2 | 6.5 |
| 50 | 2 | 2 | 4.2 |
| 80 | 2 | 1 | 6.2 |
| 75 | 3 | 1 | 7.4 |
| 65 | 4 | 0 | 6 |
| 90 | 3 | 0 | 7.6 |

11. 关于误差的分布

误差ε是一个随机变量，均值为0

ε的方差对于所有的自变量来说相等

所有ε的值是独立的

ε满足正态分布，并且通过β₀＋β_１x₁+β₂x₂+ ... +β_px_p反映y的期望值

1. 例子
一家快递公司送货：X1： 运输里程 X2： 运输次数 Y：总运输时间

目的，求出b0, b1,.... bp：

y_hat=b₀＋b_１x₁+b₂x₂+ ... +b_px_p

2. Python实现：

数据

• 代码：

from numpy import genfromtxt
import numpy as np
from sklearn import datasets, linear_model

dataPath = "Delivery.csv"
deliveryData = genfromtxt(dataPath, delimiter=',')

print("data")
print(deliveryData)

X = deliveryData[:, :-1]  # 取所有行，第一列 到 倒数第二列
Y = deliveryData[:, -1]   # 取所有行，倒数第二列

print("X:")
print(X)
print("Y: ")
print(Y)

# 建立线性回归模型
regr = linear_model.LinearRegression()

regr.fit(X, Y)

print("coefficients") # 打印 b0  b1
print(regr.coef_)
print("intercept: ")
print(regr.intercept_)

xPred = [102, 6]
yPred = regr.predict(np.array(xPred).reshape(1, -1))
print("predicted y: ")
print(yPred)

• 运行结果

data
[[100.    4.    9.3]
 [ 50.    3.    4.8]
 [100.    4.    8.9]
 [100.    2.    6.5]
 [ 50.    2.    4.2]
 [ 80.    2.    6.2]
 [ 75.    3.    7.4]
 [ 65.    4.    6. ]
 [ 90.    3.    7.6]
 [ 90.    2.    6.1]]
X:
[[100.   4.]
 [ 50.   3.]
 [100.   4.]
 [100.   2.]
 [ 50.   2.]
 [ 80.   2.]
 [ 75.   3.]
 [ 65.   4.]
 [ 90.   3.]
 [ 90.   2.]]
Y: 
[9.3 4.8 8.9 6.5 4.2 6.2 7.4 6.  7.6 6.1]
coefficients
[0.0611346  0.92342537]
intercept: 
-0.8687014667817126
predicted y: 
[10.90757981]