在这一章节之前，我们要先回顾一下之前学过的整式加减，首先我们可以将代数式分成两类，一类是分式，一类是整式。我们现在先不看分式，就看整式。对于整式，我们还可以再进行分类，将它分为单项式和多项式。那我们现在来看整式加减，在做整式加减时我们要分清楚什么时候能合并同类项。同类项表示的是字母和相同字母的指数相同的两个项。只有在这样的情况下，这两个项才能合并，那么这些和我们现在要学的整式乘除什么关系呢？其实是有关系的，我们之前将整式分成了单项式和多项式。也就是说在整式乘除的时候，有可能是单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式。除法也是这样。单项式除单项式。多项式除单项式，单项式除多项式，多项式除多项式。
那么接下来我们就要探索整式乘除。那么我们先从哪里开始呢？我们刚才给他们分了类。那么最简单的就是单项式乘单项式这一类。因为单项是也是字母和数字相乘。也就如a×be它也可以写成这个形式：a×b×e，也就等于abe
但是在单项式乘单项式中还有这样特殊的一类。那就是同底数幂相乘。就像10²×10³这一类该怎么计算呢？现在这个10²是幂的形式，我们可以将这个幂的形式转化成积的形式。变成10×10×10×10×10。也就是五个10相乘。等于10。所以10²×10³＝10^5，我们会发现它也就等于10的2+3次方。从头到尾这个底数时，它没有任何变化，而它的指数是相加在了一起。不过这只是一个特例，我们要将它变成普遍的规律。也就是用字母来代替数字。就是a^m·a^n，a^m就是m个a相乘，a^n就是n个a相乘，a^m＋n(在这时候和都应该为整数。因为我们现在理解的次方是有几个a相乘，那如果m和n是小数，那么有零点几个a相乘，这种就解释不通了)这个是符号语言。文字语言来说就是同底数幂乘方法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。那么根据乘除互逆，我们就可以推出相应的除法算式。
刚才的同底数幂相乘只是一部分，在刚才例子当中，底数它是一个整数，那如果我们现在将底数变成幂的形式，也就变成(3²)³这样该怎么计算呢？我们也是把幂的形式转化成积的形式。也就会变成3²×3²×3²那我们现在又可以用上面发现的同底数幂相乘的规律。它也就等于3^2+2+2＝3^6，我们会发现这个底数3一直都没有变。他的指数6其实就是刚才3的两个指数2×3得出来的。不过这只是一个特例，我们还是要用字母代替，表示成一个普遍规律。a^m的a^n=a^mn。用文字语言来说就是幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
那么我们刚才说的底数都是一个数字，那我们现在如果将底数变成两个数的积呢？就变成这样子的形式：(2×3)²。同样我们也将幂的形式先变成积的形式，也就是(2×3)×(2×3)。我们用乘法分配律将括号去掉。就是2×3×2×3，之后我们可以再利用乘法交换律。将他变成2×2×3×3在用我们之前发现的同底数幂相乘的规律，就会变成2²×3²。那么原本的形式是2×3，我们可以把这个形式叫做积，那2×3的方也就等于积的乘方。通过变形，我们将它变成了2²×3²。2^2和3^2都是乘方的形式，而他们两个平方相乘，我们可以把它叫做乘方的积。我们用字母表示就是。(ab)^n=a^n·b^n。用文字语言来说就是。积的乘方法则：积的乘方等于乘方的积。
之前说的都是特殊的单项式乘以单项式。还有一般的单项式乘以单项式。
那么单项式乘单项式我们说完了，可以再说说单项式乘以多项式。乘以多项式其实非常简单。依据乘法分配律，用单项式去一个一个乘以多项式中的每个项就可以了。
那么根据乘除互逆的原则，上面讲过的那些乘法算式都应该有两个对应的除法算式。先从第一个同底数幂乘法说起。我们上面举的例子是10^2·10^3=10^5，那么现在利用乘除互逆将它反过来就会变成10的5次方除以10的二次方等于十的三次方。也就是5个10相乘，以两个十乘的还剩下三个式相乘。用字母来说就是。a^m÷a^n=a^m－n，不过有一个前提，因为除数不能为零，所以a也不能为零。文字语言就是：同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。除法呢，我们可以用另一种方式来理解那就是分数。10^5÷10²，它也就等于10·10／10×10×10×10×10。分子分母同时除以10·10，分子还剩下了3个10相乘也就等于10³。不过上面我们举的例子中都是m＞n的情况，也就是m－n为正整数的情况。那么还有两种情况，一种是m-n减等于零，也就是m=n，还有一种就是m-n减为负整数。也就是m＜n。我们现在先来看m减n等于零的情况。那我们先举一个特例。10^5÷10^5。就是一个数除以自己本身，它应该等于一。按照我们之前的，同底数幂除法法则应该等于10º。也就是说10º应该等于1。能用字母表示，也就是说aº=1。(a不等于零)。那我们现在再来看m＜n的情况。再举一个特例。10³÷10^5，用分数来解释，也就是说10×10×10×10×10/10×10×10。我们分子分母同时约分就会变成10²／1。那么我们现在在用同底数幂除法法则来解释。应该=10^-2。也就是说10^-2=10²／1。用字母表示就是a^－n=a^n／1。(a≠0)
这是一类特殊的除法，其他的除法。我们也可以把它写成分数的形式。就像3a与ab的和除以a写成分数形式就是a／3a＋ab。但是现在我们还没办法进行约分。因为它的分子是加法的形式，并不是乘法的形式。我们现在就要将分子转化成乘法的形式。为了和分母进行约分，我们要从分子中提取出一个a，也就会变成a·(3＋b)，然后分子分母同时除以a，结果就是三加b，分子从加法的形式变成乘法的形式。这个过程就是因式分解。
最后剩下一种多项式乘以多项式。多项式乘多项式，我们就可以将一个括号拆开，然后另一个括号中当做一个整体，就像单项式那样一个像一个像的去乘。然后再用乘法分配率再拆一次括号。最后再看一下有没有同类项可以合并。
不过多项式乘多项式还有几种特殊的，有一类就是(a＋b)(a-b)用上面的方法做就是a与b的和乘以a减去a与b的和乘以b。再用乘法分配率。就是a²＋ab-ab-b²化解一下就等于a方减b方。所以我们就可以得出结论。(a＋b)(a-b)＝a²-b²也可以用图形解释。
这个公式我们就叫做平方差公式。
还有特殊的一类，(a＋b)²用乘法分配率算出来的结果会是与的a和b乘以a，加上a与b的和乘以b。也就等于a方加ab加ab加b方。等于a²＋2ab＋b²。也就是(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²这也可以用图形解释。
这就是完全平方公式中的完全平方和公式。
那有完全平方和公式，就有完全平方差公式。完全平方差公式就是(a－b)²用乘法分配率算出来的话，等于一方减ab，减ab加b方。等于。a方减二，ab加b方。也就是(a-b)²＝a²－2ab＋b²同样也可以用图形解释。
这也就是完全平方差公式。
