一、教学目标
1在信息技术的辅助下,了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异
2.通过图像和表格数形结合体现一次函数和指数函数增长变化的差异。
二、核心素养
在认识函数增长差异的过程中,发展数学运算,逻辑推理和数学建模的素养。
三、教学重、难点
重点:在信息技术的辅助下,直观了解“直线上升”“指数爆炸”的含义。
难点:两种增长函数模型的应用。
四、教学过程
一、情景引入(背景“龟免赛跑动画”)
师:同学们,一年一度的森林运动会开始了,这次聪明的兔子吸取教训，不再中途睡觉!而乌龟呢,以2m/h的速度做匀速直线运动!下面，请大家一起来做个裁判，看看谁会成为本次比赛的冠军？
如图，是乌龟和兔子的运动轨迹，如果放在平面直角坐标系中，大家观察一下，它们的运动轨迹像我们学习过的哪些函数图像?
生:乌龟的赛跑路线是一次函数，兔子的赛跑路线是指数函数！
师:对了,乌龟的运动轨迹是一次函数图像,兔子的运动轨迹是指数函数的图像:那么根据图像上点的坐标，大家能写出对应的函数解析式吗?
生：乌龟的运动轨迹是过（0，0）点和（1，2）点的直线，代入一次函数的解析式y=kx+b（k=0），得k=2,b=0,则y=2x,兔子的运动轨迹是过（1，2）点的指数函数图像，代入y=ax(a>0,且a≠1)，得到兔子运动的函数模型y=2x！(展示学生的解析式)
师:对了,乌龟的运动轨迹可以用y=2x来刻画,兔子的运动轨迹可以用y=2x来刻画!大家观察两个函数图像及其增长方式,可以从图中得出哪些信息呢?
生1:比赛开始时,乌龟和兔子没有在同一起跑线!兔子在乌龟前方！
生2:在区间（0,1）上，函数y=2x图像位于y=2x之上,这个时间段，兔子在乌龟前方。
生3:在区间(1,2)上，函数y=2x的图像位于y=2x之下,这一时间段，兔子落后于乌龟。
生4:在区间（2,3）上,函数y=2x的图像位于y=2x之上,这一段时间兔子超过了乌龟。
生5:函数y=2x与y=2x有两个交点(1，2)和（2,4），即兔子和乌龟在出发1h和2h的时候相逢!
师:那么，谁是冠军呢?
生:谁会成为最终的冠军取决于终点线的位置！设终点线的直线方程为y=a，若2>a>0,则兔子是冠军；若4>a>2,则乌龟是冠军；若a>4,则兔子是冠军，若a=2或a=4,则兔子和乌龟并列冠军！
师:大家非常棒!那么,请大家思考一下,x∈（2，+∞）,两个函数图像的关系?
生1:随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图像几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变和y=2x的增长相比几乎微不足道。
生2：函数y=2x与y=2x在（0，+∞）上都是单调递增的,但它们的增长速度不同。
生3：随着x的增大，y=2x的增长速度会越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度，尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x。
师:大家总结的非常好!一般地,指数函数y=ax（a>1）与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似!即使K值会远远大于a值，指数函数y=ax（a>1）的增长速度会远超过y=kx(k>0)的增长速度。
师:指数增长模型在实际生活中应用非常广泛，如
1,人口增长，指数函数模型可以用来描述人口增大的规律，例如，某城市人口在初始时期为100万,年增长率为3%，使用指数函数模型，可以得出人口数随时间增长的表达式 p(t)= 100×(1+0.03)t万，其中t为时间 (年)。利用这个模型，我们可以预测城市未来的人口数量，并制定合理的发展规划。
2、财务投资模型。例如，某投资项目的初始投资金额为1000万元，年化收益率为5%，通过指数函数模型，我们可以计算出投资金额随时间的增长情况。投资金额的表达式为 A(t)=1000×(l+0.05)t万，其中t为时间(年)，利用这个模型，我们可以评估投资回报率，并决它是否投资！
3、病毒传播模型：在公共卫生领域，指数增长模型可以用来描述病毒的传播速度和规模。通过设定初始感染人数和传染系数，可以预测未来某个时间点的感染人数，为疫情防控提供决策支持。
4、科技进步：在科技领域，许多技术的发展呈现出指数增长的态势。利用指数增长模型，可以预测未来技术的发展趋势，为科技研发、产业升级等提供参考。
5、化学反应：在化学领域，某些化学反应的速率也呈现出指数增长或衰减的趋势。通过指数增长模型，可以计算反应物浓度的变化情况，预测化学反应的进程和结果。这样的函数模型还有很多，这些应用展示了指数增长模型在解决实际问题中的强大能力，它能够帮助我们理解和预测现象的增长规律，为决策和规划提供科学依据。在日常生活中，我们应该学习和运用指数函数模型，以更好地理解和解决各种实际问题。
师:森林运动会虽然结束了,但学习永不止步! 如果每天进步一点，即1+0.01=1.01,那么1.01365≈37.78，远大于1.如果每天退步一点，即1-0.01=0.99,即0.99365=0.026,远小于1，希望大家每天多努力一点，使每一个今日充实而饱满，在点点进步中铸就人生的辉煌!
