大师兄的贝叶斯网络学习笔记（十六）：图分割与变量独立（三）
大师兄的贝叶斯网络学习笔记（十八）：贝叶斯网络与概率推理（一）
四、有向无环图与联合概率分布
- 设V为一个随机变量的集合，P是V的一个联合概率分布，G是以V中变量为记号的一个有向无环图。
- 设X,Y,Z为V的3个亮亮交空的子集合，引入如下两个记号：
：表示在P中，给定Z,X,与Y相互条件独立；
：表示在G中，Z D-分隔X和Y。
- 利用有向无环图G，可以定义如下3个关于联合概率分布P的性质：
- P是G可分解的，如果存在一个以G为结构的贝叶斯网络，它所表示的联合概率分布正好是P；
- P具有整体G-马尔可夫性，如果
，即G中的d-分隔意味着P中的条件独立。
- P具有局部G-马尔可夫性，如果对于G中任何一点X，
，即在P中，X在给定他在G中的父节点时，条件独立于它在G中的所有非后代节点。
- 定理：假设P为一个变量集合V的联合概率分布，G为定义于V上的一个有向无环图，则以下3个陈述是等价的：
- P是G可分解的;
- P具有整体G马尔可夫性;
- P具有局部G马尔可夫性。
- 相对于联合分布P，可以定义如下两个关于有向无环图G的性质：
- G是P的独立图(independence map)，简称I-map，如果
- G是P的依赖图(dependence map)，简称D-map,如果
。
- 若G即是P的独立图，也是P的依赖图，则称它是P的完美图(perfect map)，简称P-map。
- 独立图表示P中的独立关系，依赖图表示P中的依赖关系。
- 独立图所蕴含的条件独立关系是P中所有条件独立关系关系的一个子集，而后者优势依赖图中所蕴含的条件独立关系的一个子集。
- 因此，在独立图中加一条边，所得到的仍然是独立图。
- 类似的，在依赖图中去掉一条边，所得到的仍然是依赖图。
- 一个独立图被称为是最小独立图(minimal I-map)，如果去掉其中的一条边后他不再是独立图。
