万有引力客观题：2011年江苏卷题7

一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为 $T$ ，速度为 $v$ 。引力常量为 $G$ ，则

A. 恒星的质量为 $\dfrac{v^3 T}{2 \pi G}$

B. 行星的质量为 $\dfrac{4 \pi^2 v^3}{GT^2}$

C. 行星运动的轨道半径为 $\dfrac{vT}{2\pi}$

D. 行星运动的加速度为 $\dfrac{2 \pi v}{T}$

【分析】

卫星作圆周运动的相关公式如下：

$a= \omega \cdot v = \omega^2 \cdot R = \dfrac{v^2}{R}=\dfrac{4\pi^2 R}{T^2}$

$\dfrac{GMm}{R^2} = m \cdot \dfrac{4\pi^2 R}{T^2}$

$\dfrac{R^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}$

$\dfrac{GMm}{R^2} = m \cdot \dfrac{v^2}{R}$

$v^2= GM \cdot \dfrac{1}{R}$

【解析】

∵ $\dfrac{GMm}{R^2} = m \cdot \dfrac{v^2}{R}$

∴ $M = \dfrac{v^2 R}{G}=\dfrac{v^2 2 \pi R}{ 2 \pi G}=\dfrac{v^3 T}{ 2 \pi G}$

选项A正确；

行星运动的周期和速度与恒星质量相关，与轨道半径相关，与行星自身的质量无关，选项B错误；

$v=\omega R = \dfrac {2\pi R}{T} \Rightarrow R=\dfrac{vT}{2\pi}$

选项C正确；

$a=\omega v = \dfrac{2 \pi v}{T}$

选项D正确；

结论：ACD 是正确选项。

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