实变函数

（记得看大三下的《分析学技巧》）

10.8

证明一个集合 $A \subset \mathbb{R}^n$ 是可数集的方法：

1 利用A的完全孤立性，即： $\forall x\in A \exists \delta$ ,且所有这些δ圆两两不交。在每个δ圆内找一有理点。

2 利用集合分解

集合分解的手段？

一般来讲，我们用可数分解，而是否无交并不重要。

我们希望的集合分解一般是分解为可数个，形如A=∪{x∈A:P(x,n)}，其中P(x,n)是一个关于x和n的性质。这个性质可以是什么呢？

1.P(x,n)可以是x∈B(0,n)，这是某种意义上的“常”性质，任何时候都可以考虑（也可以称为度量空间的有界截断）。

2.也可以利用题目中给定的函数符号f，例如zmq，p33思考题5.给了一个提示： $F=\bigcup_{n=1}^{\infty} \{x:f(x)\leq n\}$ ，最终证明了每个分解集合都是有限集，证出F是可数集。此处的集合分解利用到的性质P就是包含了题目给定的抽象函数f的。或者称“借助空间上的函数对空间本身进行分解”。

集合分解关键在于描述分解项。想描述一个集合，就要谈论集合的内涵，即写在竖线或者冒号右边的那个性质。谈论一个性质，就是写下一个逻辑语句，可以用到的东西是在R^n的标准设定下给好的那些构造、或题目中额外给定的抽象符号(例如函数f)。

分解不唯一的时候？--分解方式的选择

zmq P43 思考题1：

$f_n\in C([a,b]),且存在极限f(x),证明对任意实数t，点集\{x\in [a,b]:f(x) ＜t \}是F_{\sigma}集$

第一种分解：

$\{f(x) ＜t\}=∪\{f(x)\leq t-1/k\}=∪\{\forall l \exists N \forall n＞N,f_n(x)\leq t-1/k+1/l\}=∪∩∪∩\{f_n(x) \leq t-1/k+1/l \}$

我们无法断言这是F_σ集。

第二种分解：

$\{x:f(x) ＜ t\}=\{x:\exists l \exists N\forall n＞N,f_n(x)\leq t-1/l\}=∪∪∩\{x:f_n(x)\leq t-1/l\}$

立得他是F_σ集。

对这个现象的评论：

证明F_σ集，不难想象是要做集合分解，由集合论和一阶逻辑的对偶性，集合分解中的交并∩∪ 就对应于刻画原集合的内涵时的量词 $\forall\exists$ ，所以刻画集合的内涵时选择用怎样的逻辑语句、怎样排布量词，是一个关键点。我们在刻画上述集合的内涵的时候，lim＜A，采用了一个 $\Sigma_2$ 型的语句，而lim≤A用了一个 $\Pi_3$ 型的语句。为了证明A是F_σ集，我们只希望用 $\exists\forall$ 型的句子，也即Σ_2型的语句，来刻画集合A的内涵。

下面的p43 思考题2 让证明 $F_{\sigma\delta}$ 集，那就是要找 $\forall\exists\forall或\forall \exists$ 型句子去刻画原集合的内涵，这其实是一种相当明确的暗示。

10.16

集合分解的重要不言而喻。对集合进行分解关键在于对集合的内涵做正确的一阶逻辑刻画，再利用对偶性转化为集合运算。对于其中一些常见的重要的集合内涵：f(x)＜t，f(x)≤t，我们这里就涉及到重要的一个分析学哲学：

Numbers as Limits

此说法化用了Yuri.Manin的论文《Numbers as Functions》，但在意涵上并无联系，仅借用标题的形式。

p5例2,利用函数符号截断，0=lim1/n

p9例6，fx＞t 等价于limfn（x）＞t等价于存在n，fn＞t。

p11题1，fn→f≤t的刻画

p33题5，利用函数符号截断。

p41例12，连续函数列之极限函数的连续点集的刻画

p42题1 fn→f＜t

题2收敛点集的刻画

题3极限存在的刻画。

集合分解、值即极限、有限截断、

确界也是一种“极限“，底空间只是集合而没有拓扑。把m*(∪·)≤Σm*(·)也囊括进Numbers as Limits。

集合分解后续考虑：1考虑基数：可数与否 2考虑集合结构：可测、Fσ、Gδ、纲...

10.20

空间的有界截断、函数的有界截断。

10.21

大一的助教赵子颐学长说过：“上确界最本质的性质是放缩ε。”

其实啊，哪有什么最本质的性质，这就是定义。让我们想象一个计算机要怎么证明m*(A∪B)≤m*(A)+m*(B)？他必然要问，m*(A)是什么？唯一刻画了这个量的，就是它的定义。一个确界的出现就要引入一个ε，所以可列可加性那里的证明，涉及Σm*(Ai)，需要引入可列无穷多个ε，并且希望他们能求和，所以是ε/2^n，非常自然。

实数域上的若干结构中，序关系≤提供了等同两个元素的条件，即a=b iff a≤b且b≤a. 其他结构中，赋值/度量

| · - · |也提供了等同两个元素的条件，即a=b iff |a-b|=0.

想要证明实数域上的等式，除了那些直接演算即可得出的恒等式(即只用到+×等R的代数结构)，其他的情况下，相等关系有谁来提供，归根结底都要从这些基本结构的定义中去挖掘。

上面提到R上的双方面的序关系可以提供相等关系。进一步的，a≤b iff 对任意ε＞0，a＜b+ε.这在逻辑学范式上是不平凡的，因为第一个命题是没有量词的，第二个命题是含有量词forall的。

用量词新引入一个量，我们在后续语境中就多了一个自然地、可谈论的、可操作的对象，这对于组织一段证明是相当重要的。让我们回顾外测度次可数可加性的证明：

$\{Ai\}是一列集合，证明m^*(∪A_i)\leq \Sigma m^*(A_i)\\$

为证明不等式，先要考察不等式两端对象的定义：左边是一个下确界，右边是可列无穷多个下确界的和。

下确界inf的定义为： $(\forall A ,f(A)≥inf ) \land (\forall x (x＞inf\to \exists B,f(B)＜x))$ 可以发现，inf的两条要求中，每一条都要求用任意量词引入新变量。不引入，定义没法用，条件没法启动，证明链没法开启。所以证明的第一步必须引入新变量。

最先引入的变量必须最后消去，换句话说，先引入的这个变量是要最终给出证明的最后一步不等式的。那么这个变量一定是ε。现在我们可以预期，我们的证明范式一定是forall ε，xxxxxxxxxx, 于是L＜R+ε，证毕。

相当于我们找到了证明的tactic。它的动力主要来自于命题中对象的定义迫切需要引入新变量。

接下来考察定义，R+ε=Σm*（An）+ε/2^n 完美匹配到下确界的定义。于是接下来使用可列无穷次下确界的定义，对每个Ai找到一族覆盖，每一个都以ε/2^i的精度逼近外测度m*(Ai)。再然后，这些覆盖也是∪Ai的覆盖，从而m*(∪Ai)≤ΣΣI_i^n＜Σm*(Ai)+ε/2^i=R+ε，证毕。

让我们再详细考察一下上述定义是何以自然的。首先，inf的定义提供了inf相关的两个不等式，一个是（1）inf≤某，（2）inf+ε＞某。我们最终要证明inf＜Σinf，一定是左式是inf用（1）这条定义，右式的inf每一个都用(2)这条定义。

我们还是要再强调一下上述过程在数学内部的自然性，作为一段证明，它像一粒种子自己发生和延申，根本上它不是由所谓的“熟练”、“技巧”这些人为因素书写出来的，而是由一段证明发生内部的动力所驱使而存在的。

10.22——————

既然实数域上定义了极限，那么就要问，谁是极限？每个数都是极限。numbers as limits. As the limit of what ? of some better objects。连续函数的多项式逼近、非负函数的正逼近、退化矩阵的非退化逼近....

10.31，期中复习

p3 若A包含于B且B包含于A，则称集合A与B相等

集合{x:p(x)}与{x:q(x)}是否相等，就是看条件p(x)与q(x)是否等价。（不专业的说法）

p5例2 $f是[a,b]上的实值函数，则可做如下点集分解：[a,b]=\cup \{x\in [a,b]:|f(x)|\leq n\}$

导集的处理：按定义，去掉导集是孤立点集，孤立性就可以找有理数从而可数。

基数相关问题总结：

与基数相关的命题：

为什么关心基数？基数看似是集合很粗糙的特征，但有时数学对象的基数可以参与决定其结构。例如：某种域，如果二者特征和基数如果都相同，则这两个域同构。

1.R^n中有界无穷集合必有极限点

2.E $\subset$ R是不可数集，则E'非空

3. $E\subset R^n$ ，E‘是可数集则E是可数集

证明集合可数：1做可数多个集合分解，并证明分解项均有限或可数，

2假设集合不可数，那么其可数分解中必有一项不可数（抽屉原理），不可数即无穷，有极限点

a≤A

a＜A

sup f＜A

supf≤A

inf f ＜A

inf f ≤A

lim f≤A

lim f＜A

lim f存在

f‘存在

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Fatou引理太牛逼，对f+g, f-g用Fatou引理...啊！

控制收敛定理实质上是Fatou引理。

Fatou是怎么来的？只用到了beppo-levi允许积分换序，不等号实质来自确界定义，是一个平凡的不等号。

Beppo-Levi的实质？用c∈(0,1)去降..这一步非常不平凡，我认为这是整个实变的最难点。

证明Fubini定理。取出满足定理的函数类，并发现定理要求的3条，在可测函数的构造过程中是保持的。所以我愿称之为空间扩张方法，这个空间最终扩张至全体可积函数。另一方面，应该把可积函数理解为一种动态的、处在被构造过程的对象。或者等价的，时刻彰显自身在被构造时的逻辑次序的静态对象。

(Radon-Nikudim)

μ是对勒贝格测度绝对连续的测度。则存在非负函数f，使得 $\mu(E)=∫_Ef(x)dx,\forall E$

抽象来看，即 $\mu(·)=\int_{(·)}f(x)dx$

即每个与Lebesgue测度较为接近的测度，都由对某个势函数进行勒贝格积分给出。

我们还是想用Riesz定理。置 $\int_Ef=<E,f>$ ，这种看法相当于把积分抽象出来，

$∫:\mathcal{MeaSet}×\mathcal{MeaFunc}\to \mathbb{R}$ ，为区域和函数的双“线性”泛函。

那么十分自然的：

固定第一变元，我们得到第二变元——函数的函数，即一个泛函。

固定第二变元，我们得到第一变元——集合的函数，即一个测度。

R-N定理的陈述，实质是说：这种“在二元配对中固定第二变元“的方式给出了充分多的测度。

这个定理与Poincare对偶的关系？

绝对连续是不是定义了所有测度间的一个等价关系？是的。在和差笛卡尔积下还保持吗？测度的绝对连续类有什么结构？这个结构如果存在，它将反应底空间的可测集类的信息。它将类似K群。你最好是可加的！如果μ和ν等价，那么μ+m和ν+m也等价。所以可以在绝对连续类上定义加法。

[μ]+[ν]定义为[μ+ν]是良好定义的吗？是的。

相互垂直的，mutally singular。这个垂直关系也可以被定义在商空间上。因为这个垂直完全只是关于0测集的表述，而上述等价类就是说share相同零测集的那些测度。

这个空间被称为概率测度的Hilbert空间，内积通常定义为： $⟨μ,ν⟩=∫_X \sqrt{\frac{dμ}{dλ}⋅\frac{dν}{dλ}} dλ$

其中 λ是一个固定的参考测度（例如勒贝格测度).

有没有可能测度是一个无穷维向量，一个集合，测度在该集合上取值是一个线性函数。

——————————————————————————————————————————————————————2025.1.5

定理4.4 Beppo-Levi非负渐升列

定理4.5 用Beppo-Levi证明（非负函数、非负常数情况下）积分的线性性，主动取非负可测渐升列，过渡到简单函数的情形上：

$\int\alpha\phi+\beta\psi=\int\lim(\alpha\phi_n+\beta\psi_n)=\lim\int(\alpha\phi_n+\beta\psi_n)=\lim(\alpha\int\phi_n+\beta\int\psi_n)=\alpha\lim\int\phi_n+\beta\lim\int\psi_n=\alpha\int\phi+\beta\int\psi$

定理4.6 非负级数逐项积分

只要函数项级数每一项非负可测，就可以进行逐项积分，这为积分估算提供了极大便利。

推论4.7 可测集Ei两两不交，则 $\int_{\cup E_i}f=\sum\limits_{i=0}^\infty\int_{E_i} f$

对特征函数用beppo-levi或用逐项积分。此处可以看到凡是集合操作都可以转化为特征函数操作。

定理4.8 Fatou引理

fn非负可积，则 $\int\liminf f_n\leq\liminf\int f_n$

Remark：1，利用 $g_n=\inf\limits_{k\geq n}f_k$ ；这样可以得到一个随项数n渐升的函数列，

2，有界截断： $F(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\max\{F(x),n\}$ ；这样可以得到一列有界函数，

3，紧支截断： $F(x)=\lim_{n}F(x)1_n(x)$ ；这样可以得到一列紧支函数，

这些手段均可以得到非负渐升列，从而引用Beppo-Levi实现极限算符的穿梭。

Remark：Fatou引理中唯一放缩不等号的地方是最后的gn≤fn，而这是由inf的定义得到的。从这个意义上讲Fatou断言的现象是平凡的，只是一个玩弄确界定义的结果，而且用的还是确界的平凡性质，甚至连ε都没有出现。

Remark：Fatou可以用来判断极限函数的可积性，比如当 $\int f_k\leq M$ 一致成立时，可以用常数控制左边。

定理4.9 非负可测函数可积的等价定义。

定理4.15 依测度型的控制收敛定理其中用到两个绝美的积分自带性质：1边缘衰减性 2绝对连续性

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强行开辟第五章2025.1.7

Vitali覆盖

外测度有限的集合若被Vitali覆盖，则对于任意ε 存在有限多个互不相交的”几乎覆盖”，其差集外测度＜ε

定理5.2 Lebesgue定理

单调函数几乎处处可微，且 ∫ f'(x)dx ≤ f(b) - f(a)

定理5.5 jordan分解定理

例4：f∈BV[a,b]，则f几乎处处可微，且 $\frac{d}{dx}(V_a^x(f ))=|f$ |

p218习题特别好

习题8： $f\in BV[a,b]$ da当且仅当存在单调递增的函数F，使得 $|f(x)-f(y)|\leq F(x)-F(y)$ .

引理5.6 和定理5.7 构成了5.3节的主要内容，考察的是f的不定积分的微分，而5.4节开始介绍绝对连续函数，则是考察f的微分的不定积分，注意这两个顺序是不一样的。

p219页，考察f的不定积分的微分是 $f\in L(E),\quad F(x):=\int_a^xf(t)dt,\quad 则F$ 否是f时，课本说：“f在改变零测集上的值后不改变F，所以至多只能要求F'=f a.e.”

你不觉得这个想法来的特别突兀吗？F'=f怎么就想到f在零测集上改变值后积分不变这条性质了？这条性质当然是靠熟练功可以立即从脑子里蹦出来，但是熟练功并不导致一种系统的组织思路的方法，仅靠熟练与高中刷题无异。我的意思是，积分的性质有那么多，采用怎样的思考方法可以立刻反应过来，零测集上改变函数值积分不变这条性质在当前这个情景下是关键的？

那么我们就要系统的审视当前面临的设定，我们希望有命题： $\bigg(\int_a^x f(t)dt=F(x)\bigg) \to \bigg(f(x)=F\bigg)$

从一阶逻辑语言的范式上讲，这是一个关于“积分算子的单性”的命题，因为我们希望用f被积分算子作用后的东西来决定f本身等于什么。考虑算子的单性等价于考虑算子的kernel，而积分算子的kernel正是几乎处处为0的函数，沿着这条思路，去谈论“f在修改零测集上的值后积分不变”就是十分自然的，因为这等价于谈论函数商掉ker∫后的等价类，课本上的意思相当于在谈论F’=f是等价类相等，而不是pointwise相等。这将一切思路都化归到一种圆融如意的自然境界。

凡被某算子作用过的东西，算子kernel中的信息一去不返，永远找不回来，一切逻辑上形如“A(x)=y→x=？”的命题，x=？只能在up to kernel A(-)的意义下谈。向量空间上的内积、范数要求“||x||=0→x=0”，域上的欧几里得函数要求“f(a)=0→a=0”，其公理都有一条与算子在0处的单性有关，这使得算子在0处的kernel是可控的，甚至是单的，不会损失很多信息；然而概率函数P(-)有着极大缺陷，其kernel是不可控的，概率公理中没有要求任何形如“P(A)=0→A=？”的性质，从而一旦用概率或测度谈论问题，将永久丧失掉原命题的精度，只能在up to 零测集的意义下谈论问题，这是不可克服的困难，是面对特定命题时概率/测度方法的缺陷。

引理5.6：积分平均函数 $F_h:=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt$ 在L1意义下收敛到f

用到重要的p165 定理4.21（平均连续性），平均连续性定理也作为 $f\in L(\mathbb{R^n})$ 的自带性质。

总结：看到可积函数，自动有3个可用的结论：1边缘衰减性 2绝对连续性 3平均连续性

定理5.7 不定积分的微分

Remark：定理5.7完全回答了 $\frac{d}{dx}\int$ 的问题。一个结构化的表述是： $\frac{d}{dx}\int=id_{L(E)/a.e.}$ ，亦即积分算子 $\int:L(E)/a.e.\to BV(E)$ 存在左逆 $\frac{d}{dx}:BV(E)\to L(E)/a.e.$ 在这个意义下，我们可以严格的陈述为微分是积分的左逆。

推论5.8 Lebesgue点，重要但先跳过。

Chapter 5.4 微分的不定积分

我们将开始回答 $\int\frac{d}{dx}$ 的问题，也即微积分基本定理。

定理5.14 若f绝对连续，则 $\int_a^x f’(t)dt=f(x)-f(a)$ （注意，这个是严格逐点相等，不是a.e.相等）

结构化表述为： $\int_a^x\frac{d}{dt}+ev_a:AC[a,b]\to AC[a,b]$ 是id.

更粗糙的，有 $\int^x\frac{d}{dt}=id_{AC[a,b]/_{+C}}$ ，请验证这是良定义的.

结合定理5.7的表述，我们可以系统的陈述结果如下：

定义求导算子 $\frac{d}{dx}:AC[a,b]/_{+C}\to L([a,b])/_{a.e.}$ 与积分算子 $\int^x:L([a,b])/_{a.e.}\to AC[a,b]/_{+C}$

它们是一对互逆线性算子，即 $\int^x\frac{d}{dx}=id_{AC[a,b]/_{+C}}$ , $\frac{d}{dx}\int^x=id_{L([a,b])/_{a.e.}}$

施加有界变差、绝对连续等条件的过程，其实就是探索到底应该将算子限制在什么定义域上以获得双边逆的过程。可以发现，为了获得形式上最佳的双边互逆结果，我们对两个算子各自做了粗糙化处理，例如d/dx其实是严格定义了一个可积函数，而非其几乎处处相等的等价类，我们令其又走了一个商映射，其实损失了d/dx的一点精度，但是在商空间上∫ 算子表现出单性可见这是一个积分与求导算子双方的定义域与值域互相迁就的过程。

一些不太紧急的问题

Q1：这个结果是纯线性空间上的结果，如果施加各种不同的范数结构，这两个算子表现如何？是无界算子吗？是紧算子吗？

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Chapter6 L^p空间

L^p空间是完备、可分度量空间

定理6.9(平均连续性--L^p收敛版本)

$\forall f\in L^p(\mathbb{R^n}),\lim_{|t| \to 0}\int_{\mathbb{R^n}}|f(x+t)-f(x)|dx=0$

Remark：回顾p165 定理4.21 平均连续性的L1收敛版本。处理L^p收敛的唯一真神就是Lp函数的紧支连续+积分小量分解.