数学分析理论基础22：柯西中值定理

柯西中值定理

定理：设函数 $f$ 和 $g$ 满足：

1.在 $[a,b]$ 上都连续

2.在 $(a,b)$ 上都可导

3. $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 不同时为零

4. $g(a)\neq g(b)$

则 $\exists \xi\in (a,b)$ ,使得

${f'(\xi)\over g'(\xi)}={f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}$

证明：

作辅助函数

$F(x)=f(x)-f(a)-{f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$

显然 $F$ 在 $[a,b]$ 上满足罗尔定理条件

故 $\exists \xi\in(a,b)$ ，使得

$F'(\xi)=f'(\xi)-{f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}g'(\xi)=0$

$\because g'(\xi)\neq 0$

$\therefore {f'(\xi)\over g'(\xi)}={f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

几何意义

将 $f,g$ 写作以 $x$ 为参量的参量方程

$\begin{cases}u=g(x)\\v=f(x)\end{cases}$

在 $uOv$ 平面上表示一段曲线

${f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}$ 表示连接该曲线两端的弦 $AB$ 的斜率

${f'(\xi)\over g'(\xi)}={dv\over du}|_{x=\xi}$ 则表示该曲线上与 $x=\xi$ 相对应的一点 $(g(\xi),f(\xi))$ 处切线的斜率

${f'(\xi)\over g'(\xi)}={f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}$ 表示切线与弦 $AB$ 互相平行

例

1.设函数 $f$ 在 $[a,b](a\gt 0)$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，则 $\exists\xi\in (a,b)$ ，使得

$f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln{b\over a}$

证：

设 $g(x)=\ln x$

显然 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上与 $f(x)$ 一起满足柯西中值定理条件

故 $\exists\xi\in(a,b)$ ，使得

${f(b)-f(a)\over \ln b-\ln a}={f'(\xi)\over {1\over \xi}}$

整理可得 $f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln{b\over a}$

2.设 $f$ 在区间 $(0,1]$ 上可导， $\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}f'(x)=A$ ，证明： $f$ 在区间 $(0,1]$ 上一致连续

证：

设 $M=|A|+1$

$\because \lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x}f'(x)=A$

$\therefore \exists \delta_1(0\lt \delta_1\lt 1)$

当 $0\lt x\lt \delta_1$ 时

$|\sqrt{x}f'(x)|\lt M$

则 $\forall x,y\in (0,\delta_1],x\lt y$

由柯西中值定理

$\exists\xi$ 使得

$|{f(x)-f(y)\over \sqrt{x}-\sqrt{y}}|=2|\sqrt{\xi}f'(\xi)|\lt 2M,0\lt x\lt\xi\lt y\le \delta_1$

$\therefore |f(x)-f(y)|\lt 2M|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$

$\because \sqrt{x}$ 在 $(0,\delta_1]$ 上一致连续

$\therefore f(x)$ 在 $(0,\delta_1]$ 上一致连续

又 $f(x)$ 在 $[\delta_1,1]$ 上连续，故一致连续

$\therefore f$ 在区间 $(0,1]$ 上一致连续 $\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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