【1】鸡兔同笼

题1.1 笼子里关着鸡和兔，共4个头12只脚，鸡兔各多少只。
解设鸡有 $x$ 只，兔子有 $y$ 只。
头的方程为：
$x+y=4$ $\tag{1.1}$
脚的方程为
$2x+4y=12$ $\tag{1.2}$
$(1.2)-(1.1)\times2$ 得：
$(2x+4y)-2(x+y)=12-4\times2$
化简得： $2y=4$
解得： $y=2$
代入(1.1)解得： $x=2$
答：鸡有2只，兔有2只。
$\blacksquare$

题1.2 笼子里关着蛇与鼠，共8个头24只脚，蛇鼠各多少。
解设蛇为 $x$ 条，鼠有 $y$ 条。因为蛇有0条腿，鼠有4条腿，根据题意列方程：
$\begin{equation} \label{eq6} \left\{ \begin{aligned} x+y=8 \space\space\space\space\space(1.2.1)\\ 0x+4y=24\space\space\space\space\space(1.2.2) \end{aligned} \right. \end{equation}$
$(1.2.2)\Rightarrow y=6$ ，代入(1.2.1)得： $x=2$ .
答：蛇有2条，鼠有6只。
$\blacksquare$

题1.3 公园里游船上坐满了人。2艘大船和3艘小船一共坐了24人，3艘大船和2艘小船一共坐了26人。一艘大船坐了多少人？
解设每条大船坐 $x$ 人，每条小船坐 $y$ 人，依题意：
$\begin{equation} \label{eq6} \left\{ \begin{aligned} 2x+3y=24 \space\space\space\space\space(1.3.1)\\ 3x+2y=26\space\space\space\space\space(1.3.2) \end{aligned} \right. \end{equation}$ $(1.3.1)\times3-(1.3.2)\times2$ 得：
$(2x+3y)\times3-(3x+2y)\times2=24\times3-26\times2$ 化简得： $5y=20$
解得： $y=4$ ，代入(1.3.1)得 $x=4$ ，所以
$\begin{equation} \label{eq6} \left\{ \begin{aligned} x=6\\ y=4 \end{aligned} \right. \end{equation}$ 答：每条大船坐6人。
$\blacksquare$

题1.4 解方程
$\begin{equation} \label{eq6} \left\{ \begin{aligned} 4x+11y=41 \space\space\space\space\space(1.4.1)\\ 2x+7y=25\space\space\space\space\space(1.4.2) \end{aligned} \right. \end{equation}$

解方程组的增广矩阵为：
$\begin{matrix} 4 & 11 & 41 \\ 2 & 7 & 25 \end{matrix}$
$2R_2-R_1$ 得：
$\begin{matrix} 4 & 11 & 41 \\ 0 & 3 & 9 \end{matrix}$
所以： $3y=9$ ，所以 $y=3$ ，代入(1.4.2)得：
$2x+7\times 3=25$
解得： $x=2$ 。所以原方程的解为：
$\begin{equation} \label{eq6} \left\{ \begin{aligned} x=2\\ y=3 \end{aligned} \right. \end{equation}$
$\blacksquare$

最后编辑于：2022.07.06 15:33:30

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