6. 一维问题的分离变量法

1 维问题的分离变量法

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以下内容的思路是：先探讨齐次边界问题的解，在此基础上导出非齐次边界的解，变量代换可将有源汇问题转换为无源汇问题。

以下内容源自地下水动力学课程教学内容。

C1. 1 维扩散方程的定解问题

$\left\{ \begin{array}{lll} a \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial u}{\partial t} & 0 \le x \le l,t>0 \\ \mathrm{IC:}u(x,0)=\varphi (x) & 0 \le x \le l \\ \mathrm{BC:}u(0,t)=u(l,t)=0 & t>0 \end{array}\right. \tag{C-I}$

设 $u(x,t)=X(x)T(t)$ ，代入方程，有

$a X''(x)T(t)=X(x)T'(t)$

因为 $x$ 与 $t$ 为两个独立的自由变量，有

$\frac{X''}{X}=\frac{T'}{aT}=-\lambda^2$

得到两个常微分方程

$T'(t)+ \lambda^2 a T(t)=0 \tag{c-1}$

$X''(x)+\lambda^2 X(x)=0 \tag{c-2}$

方程（c-1）的解

$T(t)= C \mathrm{e}^{-\lambda^2 a t}$

方程（c-2）与问题（ $\mathrm{C-I}$ ）的边界条件构成常微分方程的边值问题

$\left\{ \begin{array}{l} X''(x)+\lambda^2 X(x)=0 \\ X(0)=X(l)=0 \end{array} \right. \tag{c-3}$

问题（c-3）的通解为

$X(x)=A\cos(\lambda x)+B \sin(\lambda x)$

根据边界条件确定常系数

$\begin{array}{lll} X(0)=0 & \implies & A=0 \\ X(l)=0 & \implies & B\sin(\lambda l)=0 \end{array}$

为求非零解，必须 $\sin(\lambda l)=0$ ，有

$\lambda_n=\frac{n\pi}{l},n=1,2,\cdots$

综上，问题（ $\mathrm{C-I}$ ）的解为

$u(x,t)= \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(\lambda_nx)\mathrm{e}^{-\lambda_n^2 a t} \tag{c-4}$

式中， $\lambda_n=\dfrac{n\pi}{l}(n=1,2,\cdots)$ 。

几个重要积分

$\int_{0}^{l}\sin\left(m\pi x/l\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x = \left\{\begin{array}{l} 0 & m\neq n \\ \dfrac{l}{2} & m=n \end{array} \right. \tag{c-5}$

$\int_{0}^{l}\cos\left(\frac{m\pi x}{l}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x = \left\{\begin{array}{l} 0 & m\neq n \\ \dfrac{l}{2} & m=n \end{array} \right. \tag{c-6}$

$\int_{0}^{l}\cos\left(\frac{m\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x = \left\{\begin{array}{l} 0 & m\neq 0 \\ l & m=0 \end{array} \right. \tag{c-7}$

$\int_{0}^{l}\sin^2\left(\frac{m\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x = \int_{0}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x = \frac{l}{2},m\geq 1 \tag{c-8}$

确定（c-4）的系数 $b_n$

由初始条件有

$u(x,0)=\varphi(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)$

两边同乘以 $\sin\left(\dfrac{m\pi x}{l}\right)$ ，并从 0 到 $l$ 积分

$\int_0^l \varphi(x)\sin\left(\frac{m\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x= \sum_{n=1}^\infty \int_0^l b_n\sin\left(\frac{m\pi x}{l}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x$

应用公式（c-5），有

$b_n=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\mathrm{d}x=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x)\sin(\lambda_n x)\mathrm{d}x \tag{c-9}$

式中， $\lambda_n=\dfrac{n\pi}{l},\,n=1,2,\cdots$

C2. 其他定解问题

$\left\{ \begin{array}{lll} a \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial u}{\partial t} & 0 \le x \le l,t>0 \\ \mathrm{IC:}u(x,0)=\varphi_1(x) & 0 \le x \le l \\ \mathrm{BC:}u(0,t)=u_1,u(l,t)=u_2 & t>0 \end{array}\right. \tag{C-II}$

设 $v(x,t)=u(x,t)-(1-\dfrac{x}{l})u_1-\dfrac{x}{l}u_2$ ，则 $v(x,t)$ 是如下问题的解：

$\left\{ \begin{array}{ll} a \dfrac{\partial^2v}{\partial x^2}=\dfrac{\partial v}{\partial t} & 0 \le x \le l,t>0 \\ \mathrm{IC:}v(x,0)=\varphi(x) & 0 \le x \le l \\ \mathrm{BC:}v(0,t)=0,v(l,t)=0 & t>0 \end{array}\right.$

式中， $\varphi(x)=\varphi_1(x) - (1-\dfrac{x}{l})u_1-\dfrac{x}{l}u_2$ 。该问题同问题（ $\mathrm{I}$ ）一致，可用分离变量法求解。

C2.1 $\varphi_1(x)=0$

$\varphi(x)=- (1-\dfrac{x}{l})u_1-\dfrac{x}{l}u_2$

此时，问题（ $\mathrm{C-II}$ ）的解为

$u(x,t)= (1-\frac{x}{l})u_1+\frac{x}{l}u_2+ \sum_{n=1}^\infty b_n \sin (\lambda_n x)\mathrm{e}^{-\lambda_n^2 a t}$

式中，

$b_n=\frac{2}{l}\int_0^l\varphi(x)\sin(\lambda_n x)\mathrm{d}x ,\quad \lambda_n=\dfrac{n\pi}{l}(n=1,2,\cdots)$

计算系数 $b_n$

记

$c_n = -\frac{2u_1}{l}\int_0^l\left(1-\frac{x}{l}\right) \sin(\lambda_nx)\mathrm{d}x,d_n = -\frac{2u_2}{l}\int_0^l\frac{x}{l} \sin(\lambda_nx)\mathrm{d}x$

分两步计算

先计算 $c_n,\,d_n$

$\begin{align*} c_n & =\frac{2u_1}{l}\frac{1}{\lambda_n}\int_0^l\left(1-\frac{x}{l}\right)\mathrm{d}\cos(\lambda_nx)\\ & =\frac{2u_1}{n\pi}\left.\left[\left(1-\frac{x}{l}\right)\cos(\lambda_nx)\right]\right|_0^l-\frac{2u_1}{n\pi} \int_0^l\cos(\lambda_nx)(-\frac{1}{l})\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2u_1}{n\pi}\\ d_n & =\frac{2u_2}{l}\frac{1}{\lambda_n}\int_0^l\frac{x}{l}\mathrm{d}\cos(\lambda_nx)\\ & =\frac{2u_2}{n\pi}\left.\left[\frac{x}{l}\cos(\lambda_nx)\right]\right|_0^l-\frac{2u_2}{n\pi} \int_0^l\cos(\lambda_nx)\frac{1}{l}\mathrm{d}x \\ & = \frac{2u_2}{n\pi}(-1)^n\end{align*}$
再计算系数 $b_n$

$b_n=c_n+d_n=-\left[\frac{2u_1}{n\pi}+\frac{2u_2}{n\pi}(-1)^{n+1}\right]$

无量纲变换

记 $\bar{x}=\dfrac{x}{l},\bar{t}=\dfrac{at}{l^2}$ ，则

$\begin{align*} u(x,t)&=u_1\left[ 1-\bar{x}- \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \sin( n\pi \bar{x})\mathrm{e}^{-(n\pi)^2\bar{t}}\right]\\ & +u_2\left[ \bar{x}-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin( n\pi \bar{x})\mathrm{e}^{-(n\pi)^2\bar{t}}\right] \end{align*}$

记

$\begin{align} F(\bar{x},\bar{t})& = 1-\bar{x}- \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \sin( n\pi \bar{x})\mathrm{e}^{-(n\pi)^2\bar{t}} \\ F'(\bar{x},\bar{t}) & = \bar{x}-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin( n\pi \bar{x})\mathrm{e}^{-(n\pi)^2\bar{t}} \end{align}$

有 $F'(\bar{x},\bar{t})=F(1-\bar{x},\bar{t})$ 。

定解问题（ $\mathrm{C-II}$ ）的解简记为

$u(x,t)=u_1F(\bar{x},\bar{t})+u_2F'(\bar{x},\bar{t}) \tag{c-10}$

C2.2 问题（ $\mathrm{C-II}$ ）中 $l\rightarrow \infty$

$\left\{ \begin{array}{lll} a \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\dfrac{\partial u}{\partial t} & 0 \le x \le\infty,t>0 \\ \mathrm{IC:}u(x,0)=0 & 0 \le x \le \infty \\ \mathrm{BC:}u(0,t)=u_1,u(\infty,t)=0 & t>0 \end{array}\right. \tag{C-III}$

若 $l$ 为有限值，则

$u(x,t)=u_1\left[ 1-\frac{x}{l}- \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \sin(\frac{n\pi}{l}x)\mathrm{e}^{-(\frac{n\pi}{l})^2at}\right]$

记 $\xi_n=\dfrac{n\pi}{l},\ \Delta \xi_n = \xi_{n+1}-\xi_n = \dfrac{\pi}{l}$ ，有

$\frac{u}{u_1}=1-\frac{x}{l}-\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(\xi_nx)}{\xi_n} \mathrm{e}^{-\xi_n^2 at} \Delta \xi_n$

当 $l \to \infty$ 时， $\Delta \xi_n\to 0$ , 上式写成积分形式

$\frac{u}{u_1}=1-\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{\sin(\xi x)}{\xi}\mathrm{e}^{-\xi^2 at}\mathrm{d}\xi \tag{c-11}$

几个重要积分

$\mathrm{erf}(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x\mathrm{e}^{-u^2}\mathrm{d}u \tag{c-12}$

$\mathrm{erfc}(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^\infty\mathrm{e}^{-u^2}\mathrm{d}u=1-\mathrm{erf}(x)\tag{c-13}$

$\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\tag{c-14}$

$\int_0^\infty e^{-a^2x^2}\cos(bx)\mathrm{d}x =\frac{\sqrt{\pi}}{2a}e^{-\frac{b^2}{4a^2}},(a>0)\tag{c-15}$

$\int_0^\infty \frac{\sin(bx)}{x}\mathrm{e}^{-a^2x^2}\mathrm{d}x =\frac{\pi}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{b}{2a}\right)\tag{c-16}$

公式（c-15）证明

记

$\varphi(x)=\int_0^\infty e^{-t^2}\cos(2tx)\mathrm{d}t$

$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} & = -2\int_0^\infty te^{-t^2}\sin(2tx)\mathrm{d}t \\ & = \left[e^{-t^2}\sin(2tx)\right]_0^\infty - 2x\int_0^\infty e^{-t^2}\cos(2tx)\mathrm{d}t\\ & = -2x\int_0^\infty e^{-t^2}\cos(2tx)dt \end{align*}$

因此， $\varphi$ 满足如下方程

$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}+2x\varphi=0 \tag{c-17}$

方程（c-17）通解为

$\varphi(x)=C e^{-x^2}$

并且满足

$\varphi(0)=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

有

$\varphi(x)=\int_0^\infty \mathrm{e}^{-t^2}\cos(2tx)\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{e}^{-x^2}$

取 $t=au(a>0),x=\frac{b}{2a}$ ，则有

$\int_0^\infty \mathrm{e}^{-a^2u^2}\cos(bu)\mathrm{d}u =\frac{\sqrt{\pi}}{2a}\mathrm{e}^{-\frac{b^2}{4a^2}}, (a>0)$

公式（c-16）证明

（c-15）两边分别对 $b$ 从 0 到 $\beta$ 积分

$\begin{align*}\int_0^\infty \mathrm{e}^{-a^2x^2}\frac{\sin\beta x}{x}\mathrm{d}x & =\frac{\sqrt{\pi}}{2a}\int_0^\beta \mathrm{e}^{-\frac{b^2}{4a^2}}\mathrm{d}b \\ & = \frac{\pi}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{\beta}{2a}\right) \end{align*}$

即

$\int_0^\infty \frac{\sin(bx)}{x}\mathrm{e}^{-a^2x^2}\mathrm{d}x =\frac{\pi}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{b}{2a}\right)$

问题（ $\mathrm{C-III}$ ）的解

由公式（c-15），公式（c-11）变为

$\begin{align*} \frac{u}{u_1}&=1-\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\frac{\sin(\xi x)}{\xi}\mathrm{e}^{-\xi^2 at}\mathrm{d}\xi \\ & = 1-\mathrm{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right)= \mathrm{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right) \end{align*}$

因此，问题（ $\mathrm{C-III}$ ）的解为

$u(x,t)=u_1 \mathrm{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{at}}\right) \tag{c-18}$

c2.3 有源汇项

方程

$a\frac{\partial^2H}{\partial x^2}+\frac{W}{S}=\frac{\partial H}{\partial t}$

式中 $S$ 为贮水系数。

令 $H=u+\frac{Wt}{S}$ ， $u$ 满足方程

$a\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial u}{\partial t}$

可以用前面介绍的方法得到模型的解。

最后编辑于：2023.11.04 07:25:26

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