变分法本身的数学扩充
即使是最简单的情形下要把积分极小化或极大化，欧拉和勒让德也只给出了必要条件，在勒让德发表结果的50年内，数学家们进一步探索一阶和二阶变分，但没有得到决定性结果。1837年雅可比发现了如何强化勒让德条件以提供充分条件。对此，他主要发现了共轭点的概念。
考虑满足欧拉特征方程的曲线（极值曲线），对于变分学的基本问题，通过给定点A，存在一族单参数极值曲线。假设A是所求极大或极小曲线的两端点之一，给定任一极值曲线，当其它极值曲线趋近该极值曲线时，其它极值曲线的交点的极限是这条极值曲线上A的共轭点。另一种说法是，有一族曲线，这族曲线可能有一包络。任一极值曲线与这族曲线的包络的接触点就是极值曲线上与A共轭的点。雅可比给出的条件是：如果y(x)是原问题中A,B端点间的一条极值曲线，那么在A,B间的极值曲线y(x)上必定没有共轭点，甚至B都不是共轭点。
具体例子是，可以证明，从A点以相同速度v但以不同倾角发射的炮弹，其所有路径是使作用积分极小化或极大化的极值曲线。把AB两点之间作用极小化的问题一般确实有两个解，即抛物线AA''B与抛物线ABA'。此外通过A点的抛物线族有一包络，它在A''和A'点与两抛物线相切。按雅可比条件，极值曲线AA''B不能提供一个极大或极小，但极值曲线ABA'可以提供。
雅可比重新考虑了二阶变分，用y+εt(x)代替拉格朗日的y+δy，并假设a,b是点A,B的横坐标，则得到
他引入了雅可比辅助方程
要求u(x)通过A点，于是在通过A,B的极值曲线y(x)上，使u(x)=0的所有点是极值曲线上共轭于A的点。如果u=β1u1+β2u2是辅助方程的通解，可以证明u1(x)/u2(x)=u1(a)/u2(a)是所有与A共轭的点的横坐标方程。
雅可比指出不用解辅助方程，因为都要解欧拉方程，设y=y(x,c1,c2)是方程通解，即极值曲线族，那么u1可以取y对c1的偏导，u2可以取y对c2的偏导。
1807年，雅可比从共轭点研究推出了两条结论。一：如果沿从A到B的极值曲线上有一个共轭于A的点，就不能极大或极小。这个基本上是对的；二、在AB间取得极值的曲线，如果沿极值曲线且AB间不存在共轭点，那么极值曲线给出原积分的一个极小。但这些条件有点问题，后来的研究者补全了正确命题的完全证明。
雅可比结果不仅对极大化或极小化函数的存在性有特殊价值，而且使人们看到，变分学的进展不能以通常微积分的极大极小理论为指导。
雅可比结果在发表后的35年内没有遭到反驳。这一时期关于这方面的论文陈述是不确切的，证明也有问题。问题没有严格陈述，造成了各种错误。后来魏尔斯特拉斯从事变分学研究，1872年在柏林演讲时阐述了他的思想，但没有发表。像魏尔斯特拉斯在其它领域如复函数论的发现一样，他对变分学的研究也引起了大家对变分学新的兴趣。
魏尔斯特拉斯的第一个论点是：之前建立的极大或极小的判别准则都有局限性（俱往矣，欧拉、勒让德、雅可比），因为假设中的极大或极小曲线y(x)是与其它曲线y+εt(x)相比较，这实际上是假设εt(x)和εt'(x)二者沿x从A到B都是很小的，也就是说y(x)是和其它有限制的曲线比较，在满足三个判别准则的条件下，它确实比这些比较曲线好。Adolf Kneser (1862–1930)称之为弱变分。但要找真正极小化或极大化积分J的曲线，人们必须把它和所有连结A,B的曲线比较，这些比较曲线包括在距离上越接近极大曲线时，其导数可能不趋近极大（或极小）曲线的导数的比较曲线。例如比较曲线在沿x域从A到B途中可能在一处或多处有尖角。魏尔斯特拉斯想象中的比较曲线就是Kneser所说的强变分。
1879年魏尔斯特拉斯证明了弱变分的三个条件：曲线是极值曲线（欧拉方程的解）、沿极值曲线、任何与A共轭的点必定在B之外，是极值曲线给出积分J一个极小值的充分条件（对极大值
）。
然后魏尔斯特拉斯考虑了强变分，对这些变分，首先引入了第四个必要条件。他引进新的函数（称为E函数或过剩函数）定义为
得到y(x)提供极小值的第四个必要条件是，对每个有限值，沿极值曲线y(x)上有E≥0(对极大值E≤0)【搜到了一个讲强变分充分条件的笔记】
1879年魏尔斯特拉斯又转而研究允许强变分时极大或极小的充分条件，为了叙述充分条件，需要引入魏尔斯特拉斯关于场的概念。考虑极值曲线任一单参数族y=Φ(x,γ)，其中包括连结A,B的特殊极值曲线。除了Φ(x,y)连续可微的细节外，本质性事实是：在过A和B的极值曲线附近的一个区域内，极值曲线族有一条且只有一条通过这区域内任何一点(x,y)。满足这个本质性事实的极值曲线族称为场。
给连结A,B的极值曲线C0一个环绕的场，如果在x=a和x=b间的任何点（x,y）上以及这个场覆盖的区域内有E(x,y,p(x,y).p)≥0，其中p(x,y)表示通过(x,y)的极值曲线在(x,y)处的斜率，p是任一有限值，那么相对于场内其它连结A,B的C来说，C0使积分J极小化（对极大值E≤0）。
1900年希尔伯特提出不变积分理论，大大简化了充分性的证明。希尔伯特提出问题：是否可能确定函数p(x,y)使积分
在(x,y)的区域中与积分路径无关？他发现如果p(x,y)是这样确定的，那么微分方程dy/dx=p(x,y)的解是一个场的极值曲线。反之如果p(x,y)是场F的斜率函数，则在F中I与路径无关，据此希尔伯特导出了魏尔斯特拉斯关于强变分的充分条件。
