引言
18世纪欧拉和拉格朗日确立了变分法，除各类数学、物理问题，研究变分法的主要动力是最小作用原理，莫佩尔蒂、欧拉、拉格朗日将其发展为数学物理的主导原理。19世纪人们继续研究最小作用原理并发展变分法。物理上的主要领域是力学，特别是天体力学。
数学物理和变分法
拉格朗日成功用最小作用原理描述动力学规律，启发了大家将最小作用原理拓展到其它物理学领域。拉格朗日对流体动力学给出了极小原理（适用于可压缩和不可压缩流体），并导出流体动力学的欧拉方程，他认为最小原理主宰了流体运动，正如它主宰了质点运动和刚体运动。19世纪早期，泊松、苏菲姬曼（Sophie Germain，也有译成热尔曼的）、柯西等人用变分法解决了许多弹性问题，其中最著名的是高斯的力学贡献：最小约束原理。
对变分法数学概念，泊松提出了第一个值得注意的观点，他利用拉格朗日广义坐标，从拉格朗日方程出发
他令L=T-V，当V仅依赖于qi不依赖于时有
，把运动方程改写为
他引入了，从上式得到
哈密尔顿（William R. Hamilton，1805-1865）极大改变了最小作用原理的叙述，这个改变对变分法、常微分方程、偏微分方程都很重要。他搞光学是为了像拉格朗日处理力学一样形成一种演绎的数学结构，然后他从光学拓展到动力学。
哈密尔顿也是从最小作用原理出发推出新的原理，但他的观点和莫佩尔蒂、欧拉、拉格朗日显然不同。他认为虽然最小作用原理是物理学最重要的定理之一，但绝非宇宙规律，因为在很多自然现象甚至简单现象中，作用是极大化的，因此哈密尔顿宁愿称其为稳定作用原理。
1824-1832年间哈密尔顿通过一系列论文建立了其光学的数学理论，然后把概念移植到力学中。他写了两篇基本论文，引入作用积分，即动能与势能差对时间的积分，虽然T-V是泊松引入的，但函数称为拉格朗日函数。哈密尔顿推广了欧拉与拉格朗日的原理，允许有不受限制的比较路径，只是沿路径的运动必须在时间t1从P1开始，在时间t2到达P2，同时能量守恒定律不必成立。而在欧拉-拉格朗日原理中，预先假定了能量守恒，因而物体经历比较路径中任一条所需的时间和经历真实路径所需的时间不同。
哈密尔顿的最小作用原理断言，真实运动是使作用稳定的运动。对保守系统，即力的分量仅需位置的函数即可导出的系统，T+V=常数。所以T-V=2T-常数，哈密尔顿原理可归化到拉格朗日原理中。但哈密尔顿原理对非保守系统也成立，此外势能V可以是时间或速度的函数。
如果令T-V=L，作用积分就改写为
假设所有比较函数qi(t)在t1,t2都有同一给定值，问题就是要在真实的qi使积分稳定的条件下确定qi为t的函数。欧拉方程变成齐次二阶常微分方程组
这些方程仍称为拉格朗日运动方程。坐标系可任意选择，通常使用拉格朗日广义坐标，这也是变分法的基本优点。引入，可以把上式变为
，这两个方程对称，构成2n个方程的微分方程组，
（是的，看到这里终于发现p上面那个点表示导数……）。
哈密尔顿在1835年的论文中简化了方程，引入了新的函数H，定义为，在物理上表示总能量，这个和可以证明等于2T，从L到H的变换称为勒让德变换，因为勒让德曾用于常微分方程研究，利用H可以证明运动的微分方程具有形式
应用于物理问题时通常假设H是已知的。这些方程是2n个一阶常微分方程的方程组，应变量pi和qi各n个，均为t的函数，而拉格朗日方程是qi(t)的n个二阶常微分方程的方程组。后来雅可比把哈密尔顿方程称为典型微分方程。它们是积分
的变分方程。这组方程出现在拉格朗日1809年的力学论文中，但他没有看出这些方程与运动方程的基本联系，而柯西1831年的论文看出了这一联系，1835年哈密尔顿把这些方程作为他力学研究的基础。
要使用哈密尔顿方程，需采用合适的p，q坐标系表示H，使得运动微分方程能解出t的函数pi,qi。特别是如果取坐标后使H仅依赖于pi，则方程组可解。
雅可比在1837年的论文中说，哈密尔顿的做法可以反过来。在哈密尔顿的理论中，如果知道作用S或哈密尔顿函数H，就可以作出2n个典型微分方程并试图求解方程组。但雅可比认为要找坐标Pi,Qi,使H尽可能简单，这样典型微分方程易积分。他找到一个变换使S变换到
经过一阵操作猛如虎，有
其中Ω称为变换的母函数，雅可比取K=0，从而得到Qi,Pi是常数，以及
这个方程是关于Ω的哈密尔顿-雅可比偏微分方程，如果可以解出一个完整的Ω，即包含n个任意常数的解，那么解有形式Ω(α1,α2,...,αn,q1,q2,...,qn,t)。雅可比变换理论说，且Pi是常数，所以解qi=fi(α1,α2,...,αn,β1,β2,...,βn,t)是哈密尔顿典型方程的解。雅可比通过解Ω的一阶方程解出了哈密尔顿的微分方程组、
哈密尔顿的工作标志着一个普遍原理（可以从它导出各种力学问题的运动规律）的研究到达了顶点，它鼓励人们在其它数学分支如弹性学、电磁理论、相对论、量子理论中求出相似变分原理。已经导出的原理包括哈密尔顿原理，未必是解特殊问题的最好最实际的办法，今天人们也不再认为极大极小原理是上帝智慧的证据，但这种广泛公式的吸引力更在于哲学和美学的兴趣。（据说费曼也是被最小作用量原理吸引，然后去搞了物理）
从数学史的角度来看，哈密尔顿和雅可比的工作不仅推动了变分法研究，也推动了常微分方程和一阶偏微分方程的研究。
