偏微分方程组
18世纪出现了第一个重要的偏微分方程组：流体运动的微分方程。19世纪建立了三个更基本的方程组：粘性介质的流体动力方程、弹性介质方程和电磁理论方程。
之前欧拉提出了无粘性流体运动方程，后来拉格朗日意识到有速度位势存在和无速度位势存在的流体运动之间的本质差别，经弹性理论类比和分子斥力假设的启发，多科工艺学校的力学教授纳维(1785-1836)在1821年得到基本方程，今天纳维-斯托克斯方程（貌似是韦神研究的方向之一）是：
1829年泊松也得到了这些方程，后来剑桥数学教授斯托克斯(1819-1903)根据连续介质力学重新导出，斯托克斯试图说明所有已知液体的摩擦作用，摩擦把动能转化为热而引起动能下降，液体附着于固体表面，对固体有切向力。
伽利略、胡克、马略特奠基了弹性力学，伯努利们和欧拉进一步发展了这门学科，但他们只处理了特殊问题，为了解决问题，对梁、杆、板在应力、压力、荷载下怎样变动提出了专门的假设，19世纪创立了严格意义上的理论，从19世纪初叶起，许多大牛试图求出弹性介质行为方程，主要是工程师和物理学家，搞数学的有柯西和泊松。
弹性问题包括：物体在应力下的行为，取什么平衡位置；物体在一个初始扰动或一个连续作用力下的振动；波通过空气或固体的传播。1820年物理学家托马斯杨(1773-1829)和工程师菲涅尔(1788-1827)开创了光的波动理论，增加了大家搞弹性学的兴趣。他们认为光在以太中运动，而以太是一种弹性介质。克拉尼（Chladni,1748-1827）关于玻璃和金属的振动实验也引发了大家对弹性学的兴趣，他指出波节线与声音有关，比如与振动鼓面发出的声音有关。
求弹性学基本方程的过程是漫长而艰难的，因为对物质内部或分子结构知之甚少，很难把握物理原理。对固体、空气、以太，每个人有不同的假设并相互争执，有人认为以太是穿过固体的，因为光线通过某些物体又被某些物体吸收，以太和固体分子的关系也难倒了大家。即使今天弹性体的物理理论仍然是不完全的。
纳维首次研究弹性体平衡和振动的普遍方程，他假设材料各向同性，因而各方程只包含一个关于物体性质的常数，1822年菲涅尔的工作启发了柯西另一种弹性理论的研究方法。柯西的方程包含两个表示物体性质的常数λ和μ，θ是膨胀系数。对各向同性物体有
对一般的非各向同性介质，其方程很复杂乏味，不过柯西也给出了方程。
19世纪科技上的一大胜利是1864年麦克斯韦对电磁学规律的总结。他利用法拉第关于电磁的研究，引入了位移电流的概念（无线电是位移电流的一种形式），并用它表述电磁波的传播。麦克斯韦方程组包括四个方程，最方便的是奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside，1850-1925）用向量形式叙述的方程组，包含电场强度E,磁场强度H，介电系数ξ，介质磁通率μ和电荷密度ρ，前两个矢量方程是主要方程，相当于6个标量偏微分方程。
麦克斯韦根据方程组预测电磁波以光速通过空间，并勇敢断言光是电磁现象。虽然没有解偏微分方程组的普遍方法，但人们渐渐意识到偏微分方程（不管是单个方程还是方程组），通解没有初始条件和边界条件给定的特殊解有用，而且实验工作也能简化方程。傅里叶、柯西、黎曼都做了很多这方面的工作，19世纪几乎所有数学家都搞过使偏微分方程组特殊化的许多初值和边值问题的求解工作。
