Hill在线性周期方程周期解方面的工作
当自守函数理论正处于创立阶段时，n体问题引起了大家对一个二阶常微分方程的兴趣，它比Mathieu方程更普遍。因为n体问题不能明显解出，只能用复杂的级数解，于是数学家转而挑选周期解。
周期解的重要性来自行星或卫星轨道的稳定性问题，假如一个行星略微离开了轨道，并给它一个小的速度，那么行星过了一段时间是会回到轨道呢还是会离开轨道？如果回到轨道说明轨道是稳定的，如果脱离轨道则轨道是不稳定的，这样行星的原始运行或运行的不规则性是否周期就成了重要问题。
前面说到拉格朗日在三体问题中已找到特殊周期解，后来美国首位大数学家George William Hill(1838-1914)研究月球理论时发现了三体问题新的周期解，1877年Hill自掏腰包出版了一篇关于月球在近地点运动的重要论文，后来又在期刊上发表了一篇关于月球运动的重要论文。他的工作创立了周期系数的齐次线性微分方程的数学理论。
Hill在1877年论文中的第一个基本思想是，对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解，于是他对这个周期解变差写出方程，得到一个带周期系数的四阶线性微分方程组，知道了某些积分后，他把这个四阶方程组化简为一个二阶线性微分方程
θ(t)是以π为周期的偶函数，把θ(t)展开为傅里叶级数，Hill方程可改写为：
Hill令，再把上式写为
，令
，其中μ和bj待定，再代入上式，并令ζ的每个幂的系数为0，得到二重无穷线性方程组
其中
Hill令未知量bj的系数行列式等于0，他首先确定μ的无穷多个解的性质并给出确定μ的明显公式，然后利用μ值对无穷多个bj的无穷线性齐次方程组解出bj与b0的比值。他证明二阶微分方程有周期解，从而证明月球近地点的运动是周期性的。
不过他的工作遭到了嘲笑，之后庞加莱注意到了Hill的工作，证明了该方法的收敛性，使无穷行列式和无穷线性方程组的理论有了根据，完善了Hill的工作，并使Hill和他的课题有了名气。
