自守函数
庞加莱和克莱因继续研究线性微分方程理论，他们引入了自守函数的课题，在微分方程理论和应用中均十分重要。
庞加莱(1854-1912)是Sorbonne(即巴黎大学)的教授，他和欧拉、柯西一样高产，涉足数学、物理的大量领域，他的物理研究包括：毛细管引力、弹性学、位势理论、流体力学、热传播、电学、光学、电磁理论、相对论（他还是爱因斯坦的对家，可能是法国人看不惯德国人吧），最突出的是天体力学。庞加莱洞察力极强，善于揭示问题本质。他能敏锐地专注于问题，并细致地考察，对问题的各个方面作定性研究。
自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其它函数的推广，函数sin z当z换为z+2mπ(m为整数)时函数值不变，也就是说当z受到群z'=z+2mπ的任何变换时，函数sin z的值是不变的；双曲函数sinh x，当z受到群z'=z+2πmi的变换时值不变；椭圆函数在群z'=z+mω+m'ω'（ω和ω'是该函数周期）的变换下值不变，所有这些群都是不连续的（庞加莱引入的术语），就是说在群的变换下，任何一点的所有变式的数目在任何有界区域内都是有限的。
自守函数今天包括在变换群或这个群的某些子群作用下不变的函数，其中abcd可为实数或复数，而ad-bc=1。此外在复平面任何有限部分上，这群必须是不连续的。
最早研究的自守函数是椭圆模函数，这些函数在模群或其某些子群的作用下不变，模群就是类似的一个子群，abcd是实整数且ad-bc=1，这些椭圆模函数是从椭圆函数中导出的。
更一般的自守函数是研究二阶线性微分方程时引入的，其中p1,p2最初是z的有理函数，一个特殊情形是有0,1,∞三个奇点的超几何方程
黎曼在1858-1859年的超几何级数讲义和1867年关于极小曲面的遗作中，和施瓦茨独立得到了以下理论：令η1和η2是二阶线性微分方程的任两个特解，于是所有解可以表示为η=mη1+nη2，当z绕奇点闭路径一周后，η1和η2变为aη1+bη2和cη1+dη2，而令z绕所有奇点的闭路径运动时，就得到线性变换的集合，即微分方程的单值群。
现在令ζ(z)=η1/η2，z绕闭路径一周时，商ζ变为(aζ+b)/(cζ+d)，ζ满足微分方程：
如果把超几何方程中的特殊函数取为p1,p2，就得到
其中λ^2=1-γ^2，μ^2=(γ-α-β)^2，γ^2=(α-β)^2，λ、μ、v取正数（α、β、γ是实的），变换后的ζ就是该微分方程的单值群。
接着黎曼和施瓦茨证明。当λ、μ、v是实数时，该微分方程的每个特解ζ(z)都是一个从上半z平面到ζ平面上的 以圆弧为边，以λπ、μπ、vπ为角的曲线三角形的保角变换。
当区域由三圆弧围成时，如果三个角满足一定条件，则ζ=ζ(z)的反函数就是一个自守函数z=Φ(ζ)，它的存在区域是半平面或圆，ζ经线性变换群中的元素变换后，函数保持不变，变换把上述形状的曲线三角形变到另一曲线三角形，给定的”圆边“三角形是这个群的基本区域，在这变换群的作用下，这个区域变成类似三角形，它们的和覆盖了半平面或圆。这圆形三角形类似椭圆函数中的平行四边形。（云里雾里中。。。）
庞加莱和克莱因在此基础上继续前进，1880年以前，克莱因在自守函数上做了些基本工作，1881-1882年与庞加莱合作。庞加莱受富克斯工作吸引，对这个课题进行了一些研究。1884年庞加莱在《数学学报》上发表了五篇关于自守函数的重要论文，首篇发表时克罗内克还警告编辑米塔格-累夫勒，说这篇论文写得太不成熟、太隐晦难懂了，要刊登的话咱们期刊就完蛋了。
庞加莱以椭圆函数理论为指导发明了一类新的自守函数，这类自守函数是考虑方程的两个线性无关解的商的反函数，其中w,z由多项式方程Φ(w,z)=0相连，PQ是有理函数。这时富克斯型自守函数，由基本圆内一致（单值）全纯函数组成，这圆在形如
的线性变换作用下不变，abcd是实数且ad-bc=1。这些使圆及其内部不变的变换形成一个群，叫做富克斯群。最简单的富克斯群是施瓦茨函数Φ(ζ)，于是庞加莱证明了比椭圆模函数更普遍的自守函数类的存在性。
庞加莱根据他的θ级数作出关于自守函数的构造，设群的变换是
令z1,z2,...为z在群中各种变换下的象，令H(z)是一个有理函数，于是庞加莱的θ级数是函数
现在令θ1(z)和θ2(z)是具有同一m的两个θ级数，这些级数单值且是整函数，因此F(z)=θ1(z)/θ2(z)是群的一个自守函数，如果是富克斯群上面的级数称为θ-富克斯级数，如果是克莱因群就叫θ-克莱因级数。
富克斯型函数有两类，一类存在于整个平面，另一类只存在于基本圆内部，富克斯型函数的反函数是代数系数的二阶线性微分方程的两个积分之比，庞加莱把这种方程称为富克斯型方程，可用富克斯型函数的方法积分求出。
后来庞加莱把变换群推广到复系数，并讨论了这种群的几个类型，庞加莱把这种群称为克莱因群。如果一个群在本质商不是有限的或不是富克斯型的，但也形如，并且在复平面的任何部分上不连续，那么这个群是克莱因群。庞加莱对克莱因群得到了新的自守函数：克莱因函数，即在克莱因群变换下不变的函数。这些函数有类似富克斯型函数的性质，但基本区域比圆复杂。顺便一提的是，克莱因考虑过富克斯型函数，但富克斯没研究过，于是克莱因跟庞加莱抗议，我也搞了这个工作，咋名字被富克斯占便宜了，庞加莱说啊你既然不满意的话，我接下来发现的自守函数就叫克莱因函数好了，反正克莱因你也没发现这种函数哇。
后来庞加莱指出如何借助克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性微分方程的积分。这样，整个这类的线性微分方程都可用庞加莱这些新的超越函数来解了。
