存在性定理
18、19世纪的数学家整了很多微分方程后发现很多解方程的方法用不了，类似多项式方程的情形（高斯解四次以上方程失败后转而证明根的存在性）。微分方程如果求出了显解，就证明了根的存在性，现在求显解失败，就需要证明解的存在性，虽然不能看出解是啥或解的形式，但还有很多用处。首先，因为微分方程几乎都是物理问题的数学描述，解的存在性至少保证解方程不是无谓的尝试，其次，存在性定理能指出关于给定的物理问题必须知道的条件，即什么初始条件和边界条件保证有一个解，且最好保证唯一解。另外随着存在性定理工作的推进，可以意识到原先不知道的目标：解是否随初始条件连续变动？初始条件或边界条件变化时是否产生新的现象？比如由一个行星的初始速度值得到的抛物轨道，初始速度变化可能得到椭圆轨道。最后，之前解方程的方法论如狄利克雷原理或格林原理的运用都先假设了一个特解的存在，没有建立特解的存在性。
在叙述存在性定理前，先说明偏微分方程的一种分类。虽然拉普拉斯和泊松做了类似工作，不过今天的标准分类是但杜·布瓦一雷蒙引入的，1839年他用特征线方法对一般的齐次二阶线性方程进行分类，方程系数是x,y的函数，且一阶、二阶导连续，特征曲线到xy平面的投影（这些投影也叫特征）满足
，当TR-S^2大于0小于0或等于0时，特征分别为虚值、相异实值和相同实值，曲线分别为椭圆的、双曲的和抛物的。然后他引入新的独立实变量ξ=Φ(x,y)和η=ψ(x,y),将一般线性方程变换为下面三种正式形式：
曲线族Φ(x,y)=常数和ψ(x,y)=常数是两族特征曲线的方程。三类方程的补充条件不同，对a）椭圆，考虑xy平面的一个有界区域并给定u在边界上的值（或一个等价条件），求u在区域内的值；对b）双曲线的初值问题，必须在某初始曲线上给定u和δu/δn，还可给定边界条件；对c）抛物线，今天我们知道可以加上一个初始条件和边界条件，但当时不清楚适当的初始条件。偏微分方程的分类法也推广到了多变量方程、高阶方程和方程组。其实19世纪早期还不清楚方程分类及其补充条件，不过后来大家渐渐意识到差别，并在定理的证明中出现。
存在性定理成为柯西的主要工作，他强调求显解失败的场合通常可证得解的存在性。他注意到阶数大于1的偏微分方程都可化为偏微分方程组，于是讨论方程组解的存在性，该方法被他称为极限的计算，今天叫做优势函数法。这个方法本质是证明：具有一定收敛区域的自变量的幂级数确实满足该方程组。他的讨论仅限于方程系数和初始条件均可解析的情形。考虑两个自变量的二阶方程r=f(z,x,y,p,q,s,t)，其中r是z对x的二阶偏导，而f对变量解析，此时必须在初始线x=0指明z(0,y)=z0(y),δz/δx(0,y)=z1(y)，其中z0和z1是解析的（初始线可以为曲线，此时z对x的偏导必须改为对法向的偏导），满足以上条件时z=(x,y)存在且唯一，并在某个从初始线出发的区域内解析。柯瓦列夫斯卡娅(Sophie Kowalewsky,1850-1891)独立得到了柯西结果略改进一点的形式，她是魏尔斯特拉斯的学生，并继承了他的思想，也是少数知名女数学家之一。（首个获得科学院颁奖的女性是苏菲姬曼 Sophie Germain,1776-1831，她关于弹性的论文获得了法国科学院的奖金）柯瓦列夫斯卡娅1888年关于刚体绕定点旋转问题的论文也获得了巴黎科学院的奖金，1889年她在斯德哥尔摩当数学教授。后来古尔萨改进了柯西和柯瓦列夫斯卡娅的证明。
如果给定二阶方程形为G(z,x,y,p,q,r,s,t)=0.那么解方程前要先解出r，设方程是,其中ABCDEF是x,y的函数，为了解出r必须有δG/δr≠0，如果等于0，柯西问题的解不一定存在，即使存在也不唯一。有更多自变量时（现在考虑3个自变量），如果方程写为：
例外情形是初始曲面S满足一阶偏微分方程
沿这样的曲面，方程两个解可以相切，甚至有高阶接触，这个性质和一阶方程f(x,y,u,p,q)=0的特征曲线性质一样，因此这些曲面也叫特征，曲面S在物理上就是波前。
蒙日和安培（就是我们知道的那个安培，André-Marie Ampère,1775-1836)也知道两个自变量时的特征理论，而巴克隆德（Johan Oskar Backlund，1845-1922）首次将理论推广到超过两个自变量的情形，但没有多少人知道，一直到Jules Beudon(1869-1900)再次得到结果。
20世纪法国主要的数学家哈达玛（Jacques Solomon Hadamard，1865-1963）在1903年把特征理论推广到任意阶的偏微分方程，比如考虑自变量为x1,x2,...,xn，应变量为ξ，η，ζ的三个二阶偏微分方程的方程组，对这个方程组的柯西问题是：在n-1维“曲面”Mn-1上给定了ξ，η，ζ和它们对xn的偏导值，求函数ξ，η，ζ。除非Mn-1满足一个六次的一阶偏微分方程，比如H=0，否则函数ξ，η，ζ的二阶和高阶导数都可以计算。所有满足H=0的“曲面”是特征“曲面”。H=0是由
定义的特征线（曲线），其中P1,P2,...,Pn-1是xn沿“曲面”Mn-1所取的对x1,x2,...,xn-1的偏导数。这些线叫做原二阶方程组的双特征，它们在光理论中表示射线。
目前特征在偏微分方程理论中十分重要，比如在特征理论的基础上，达布曾给出积分两个自变量的二阶偏微分方程的有效方法，把问题转化积分一个或多个常微分方程，包括了蒙日、拉普拉斯和其他人的方法。
