【9】圆锥曲线

定义9.1 到定点的距离 $F$ 与到定直线 $l$ 的距离相等的点的轨迹，称为抛物线(Parabola)。称点 $F$ 为抛物线的焦点，直线 $l$ 为抛物线的准线。
(1) 如图9.1.1，取定点为 $F\left(\frac{p}2,0\right),p>0$ ，直线为 $l:x=-\frac{p}2$ ，求到点 $F$ 与到 $l$ 距离相等的点的轨迹方程。

图9.1.1 抛物线

(2) 设点 $A(x_0,y_0)$ 在图9.1.1的抛物线上，求经过点 $A$ 的切线的方程 $l'$ 。并证明： $l'$ 是 $\angle BAF$ 的角平分线。
(3) 一个凹镜面的对称轴截面线是焦点为 $F$ 的抛物线，如图9.1.2，试证明：平行于对称轴的入射光，被镜面反射后经过焦点 $F$ 。

图9.1.2

题9.2 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $\Gamma:y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $\Gamma$ 上一点 $P$ (异于 $O$ )作 $\Gamma$ 的切线，与 $y$ 轴交于点 $Q$ .若 $|FP|=2,|FQ|=1$ ，则向量 $\overrightarrow {OP},\overrightarrow{OO}$ 的数量积为____________. (2021全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛第6题)。

定义9.3 到两定点 $F_1,F_2$ 的距离和等于定长的点的轨迹，称为椭圆， $F_1,F_2$ 称为焦点。
(1) 如图9.3.1，设 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0),c>0,P$ 为动点且满足： $|PF_1|+|PF_2|=2a,a>c$ 。由定义知，点 $P$ 的轨迹是椭圆。
设图中的椭圆与 $Ox$ 正轴相交于点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为___________。
设图中的椭圆与 $Oy$ 正轴相交于点 $B(0,b),b>0$ ，证明： $c^2+b^2=a^2$ 。

图9.3.1 椭圆

(2) 依据(1)，定义了点

A(a,0),B(0,b)

，我们以后称

2a

为椭圆的长轴，

2b

为椭圆的短轴，请指出图中椭圆长轴与短轴的位置，说明其几何性质，并证明椭圆的方程为：

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

。

(3) 证明：点 $P$ 的法线平分 $\angle F_1 P F_2$ 。这说明光线从一个焦点发射，经椭圆面反射后，汇聚到另一个焦点。
(1) 解 $A$ 的坐标为 $(a,0)$ 。
如图9.3.2，连接 $BF_1,BF_2$ ，因为 $BF_1=BF_2,BF_1+BF_2=2a$ ，所以 $BF_1=a$ ，在 $\Delta BOF_1$ 中，利用勾股定理即得结论。

图9.3.2

(2) 证明设 $P=(x,y)$ ，依据题意：
$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$
移项
$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
两边平方
$(x+c)^2+y^2=(x-c)^2+y^2+4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 展开
$x^2+2cx+c^2+y^2=x^2-2cx+c^2+y^2+4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
消项、整式、根式分开、整理：
$cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 两边平方：
$c^2x^2-2ca^2x+a^4=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)$ 移项整理：
$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2$ 利用 $a^2-c^2=b^2$ ，得 $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ ，即：
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

(3) 如图9.3.4，设点 $P(x_0,y_0),y_0\ne 0$ ( $y_0= 0$ 的情况简单)的切线为： $l:y=k(x-x_0)+y_0$
移项得：
$kx-y=kx_0-y_0$ $\tag{9.3.3}$
作点 $P$ 的法线与横坐标相交于点 $C$ ，连接 $PF_1,PF_2$ 。

图9.3.4

利用(9.3.3)与柯西不等式，得到：

1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{(kx)^2}{(ka)^2}+\frac{(-y)^2}{b^2}\\ \ge \frac{(kx-y)^2}{k^2a^2+b^2}=\frac{(kx_0-y_0)^2}{k^2a^2+b^2}

上式等号成立的几何条件是

l

与椭圆相切，其代数条件为：

\frac{kx}{k^2a^2}=-\frac{y}{b^2}

，整理得：

k=-\frac{b^2x}{a^2y}

\tag{9.3.5}

此时，

(x,y)=(x_0,y_9)

，所以椭圆在点

(x_0,y_0)

切线斜率为

k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}

\tag{9.3.6}

根据法线的定义，

k_{PC}=\frac{a^2y_0}{b^2x_0}

，所以直线

PC

的方程为：

PC:y-y_0=\frac{a^2y_0}{b^2x_0}(x-x_0)

从而点

C

的坐标为

(x_0-\frac{b^2x_0}{a^2},0)=\left(\frac{c^2}{a^2}x_0,0\right)=(e^2x_0,0)

所以：

|F_1C|=c+e^2x_0,|F_2C|=c-e^2x_0

另一方面：

|F_1P|=\sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}=\sqrt{x_0^2+2cx_0+c^2+b^2-\frac{b^2}{a^2}x_0^2}\\ =\sqrt{a^2+\frac{c^2}{a^2}x_0^2+2cx_0}=a+\frac{c}{a}x_0=a+ex_0

同理：

|F_2P|=a-ex_0

最后：

\frac{|F_1C|}{|F_2C|}=\frac{c+e^2x_0}{c-e^2x_0}=\frac{a^2c+c^2x_0}{a^2c-c^2x_0}=\frac{a+ex_0}{a-ex_0}=\frac{|F_1P|}{|F_2P|}

根据角平分线定理知：

PC

平分

\angle{F_1PF_2}

，命题得证。

\blacksquare

题9.4 如图9.4.1， $AB$ 是笔直的公路， $V_1,V_2$ 是两个村庄。顺丰快递在高速路建设一个快递站 $S$ ，要求 $S$ 到 $V_1$ 的距离和到 $V_2$ 的距离和最短。

图9.4.1

(1) 请使用尺规作图法给快递站选址。
(2) 若以

V_1,V_2

为焦点的椭圆与直线

AB

相切，证明：切点为顺丰快递站。

(1)作图如图9.4.2，按如下步骤作图：
a) 作点 $V_1$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $V_1'$ 。
b) 连接 $V_1'V_2$ ，设直线 $V_1'V_2$ 与直线 $AB$ 相交于点 $S$ ，那么 $S$ 就是要求的快递站。

图9.4.2

证明如图9.4.2，在直线 $AB$ 上取异于点 $S$ 的点 $S'$ ，根据轴对称性质，有
$S'V_1+S'V_2=S'V_2+S'V_1'>V_1'V_2=SV_1'+SV_2=SV_1+SV_2$
即： $S$ 是到两个村庄距离和最小的快递站。

(2) 设 $SV_1+SV_2=2a$ ，以此作为长轴作椭圆 $C$ 。根据椭圆切线的几何性质知，直线 $AB$ 是椭圆 $C$ 的切线，其切点为 $S$ 。
$\blacksquare$

题9.5 已知抛物线 $\Gamma:y^2=4x$ ，直线 $l$ 过点 $(0,-1)$ 且 $l$ 与 $\Gamma$ 相切，求 $l$ 的方程。
解分两种情况讨论：(1) $l$ 垂直 $OX$ ，此时 $l:x=0$ 与 $\Gamma$ 相切。
(2)否则，设 $l$ 的方程为 $y+1=kx,k\ne 0$ ，联立方程组：
$\begin{equation} \label{eq6} \left\{ \begin{aligned} y^2=4x \\ y+1=kx \end{aligned} \right. \end{equation}$
消去 $x$ 得 $y$ 的二次方程： $ky^2-4y-4=0$ ，由相切条件得：
$\Delta =16+16k=0$ ，解得 $k=-1$ ，所以，此情况 $l:y=-x-1$ 。
综上所述， $l$ 的方程为 $x=1$ 或 $y=-x-1$ 。
$\blacksquare$

题9.6 $P$ 是椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上的点， $Q$ 是直线 $y=\frac{1}2x+3$ 上的点，求线段 $|PQ|$ 的最小值。

题9.7 如图9.7.1，二次曲线 $\Gamma$ 上两点 $A,B$ 及线段 $AB$ 的中点为 $M$ ，过点 $M$ 作直线 $CD,EF$ 与曲线 $\Gamma$ 交于 $C,D,E,F$ 。设 $CE\cap AB=P,DF\cap AB=Q$ ，求证：
$|MP|=|MQ|$

图9.7.1

证明以

M

为原点，

\overrightarrow{AB}

为横坐标建立平面直角坐标系，并设

\overrightarrow{MA}=-r\\\overrightarrow{MA}=r

其中

r>0

。

图9.7.2

不是一般性，设

\Gamma

的曲线方程为：

\tag{9.7.3}F(x,y)=x^2+ay^2+bxy+cx+dy+e=0

根据已知条件知，关于

x

的方程

F(x,0)=0

的两个根为

x_1=-r,x_2=r

，即方程：

x^2+cx+e=0\\

的两根为

x_1=-r,x_2=r

，根据韦达定理，

c=0

,即

\tag{9.7.4} F(x,y)=x^2+ay^2+bxy+dy+e

两直线

CD,EF

的方程可以表示为：

\tag{9.7.5}G(x,y)=(x+k_1y)(x+k_2y)=0

它与

\Gamma

的交点为

C,D,E,F

，所以直线

CE,DF

的方程可以表示为：

\alpha G(x,y)+\beta F(x,y)=0

所以，

P,Q

的横坐标为方程：

\tag{9.7.6}G(x,0)+\beta F(x,0)=0

的两根，

(9.7.6)\Leftrightarrow 2x^2+e=0

根据韦达定理知，

PQ

中点为

O

，即得

|MP|=|MQ|

\blacksquare

定义9.8 到两定点 $F_1,F_2$ 的距离差等于定值的点的轨迹，称为双曲线， $F_1,F_2$ 称为焦点。
(1) 如图9.8.1，设 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0),c>0,P$ 为动点且满足： $\left||PF_1|-|PF_2|\right |=2a,a<c$ 。由定义知，点 $P$ 的轨迹是双曲线。
设图中的双曲线与 $Ox$ 正轴相交于点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为___________。
设图中的双曲线与 $Oy$ 正轴相交于点 $B(0,b),b>0$ ，证明： $c^2=a^2+b^2$ 。