函数法解圆锥曲线中的最值和范围问题

方法五 函 数 法

函数法解圆锥曲线中的最值和范围问题

解题步骤：

第一步 把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；
第二步 通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.

【例】已知抛物线y^2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点.
（1）若\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.

【解析】
（1）依题意可设直线AB:x=my+1，

将直线AB与抛物线联立\begin{cases}x=my+1 \\y^2+4x\end{cases} \Rightarrow y^2-4my-4=0

设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)

由韦达定理\begin{cases}y_1+y_2=4m \\y_1y_2=-4\end{cases}

\because \overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB} \Rightarrow y_1=-3y_2 \Rightarrow m^2=\dfrac{1}{3}

\therefore斜率为\sqrt{3}或-\sqrt{3}.

（2）S_{OACB}=2S_{\triangle AOB}=2\cdot \dfrac{1}{2} |OF||y_1-y_2|

=|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}

=\sqrt{16m^2+16} \geqslant 4，
当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．

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