DARMA：改进的PLONK协议
PLONK是Ariel Gabizon、Zac Williamson和Oana Ciobotaru公布了一种新的通用零知识证明方案，其全称是笨拙的“Permutations over Lagrange-bases for Oecumenical Noninteractive arguments of Knowledge”。 PLONK（以及更早但更复杂的SONIC以及最近的Marlin）带来的是一系列的优化，这些优化大大提高了零知识证明的可用性，在一定程度上解决了零知识证明的拓展性、安全性等问题。
原PLONK协议的优化
优化1：支持通用或可更新的可信设置（trusted setup）
虽然PLONK仍需要一个类似Zcash SNARKs的可信设置过程，但它是一个“通用且可更新”的可信设置。这意味着两件事：
首先，不需要为每一个你想证明的程序都设置一个单独的可信设置，而是为整个方案设置一个单独的可信设置，之后你可以将该方案与任何程序一起使用（在进行设置时可选择最大大小）。
第二，有一种方法可以让多方参与可信设置，这样只要其中任何一方是诚实的，那这个可信设置就是安全的，而且这种多方过程是完全连续的：首先是第一个人参与，然后是第二个人，然后是第三个……参与者们甚至不需要提前知道，新的参与者可以把自己添加到最后。这使得可信设置很容易拥有大量参与者，从而在实践中确保设置是非常安全的。
优化2：多项式承诺
它所依赖的“奇特密码学”是一个单一的标准化组件，称为“polynomial commitment”（多项式承诺）。PLONK使用基于可信设置和椭圆曲线对的“Kate commitments”（Kate承诺），但你也可以用其它方案替换它，例如FRI（这将使PLONK变成一种STARK）或者DARK（基于隐藏顺序组）。这意味着该方案在理论上与证明大小和安全性假设之间的任何（可实现的）权衡兼容。
这意味着需要在证明大小与安全性假设之间进行不同权衡的用例（或者对这个问题有不同思想立场的开发人员），仍然可以为“算术化”共享大部分相同的工具（把一个程序转换成一组多项式方程的过程，然后用多项式承诺来检验）。
关于DARMA：改进的PLONK协议
DARMA对PLONK协议进行了改进，取消了预信任的后门，采用STARK的FRI进行多项式验证，虽然损失了一部分效率，但是这让DARMA的零知识证明网络更加的安全且保护隐私，DARMA基于门罗并始终坚持保证每个用户的隐私。
DARMA:PLONK+FRI
PLONK的工作原理可以分为几部分：从线性系统到多项式—复制约束—合成多项式—多项式承若，DARMA使用FRI来进行多项式验证，解决了预信任问题，关闭了零知识证明的后门系统。
PLONK的工作原理
让我们从解释PLONK的工作原理开始，我们只关注多项式方程而不立即解释如何验证这些方程。PLONK的一个关键组成部分，就像SNARKs中使用的QAP一样，这是一个转换问题的过程，形式是“给我一个值X，我给你一个特定的程序P，这样当X作为输入进行计算时，给出一些具体的结果Y，” 放到问题“给我一组满足一组数学方程的值”当中。程序p可以表示很多东西，例如，问题可能是“给我一个数独的解决方案”，你可以通过将P设置为数独验证器加上一些编码的初始值并将Y设置为1 （即“是的，这个解决方案是正确的”）来对其进行编码，一个令人满意的输入X将是数独的有效解决方案。这是通过将P表示为一个带有逻辑门的加法和乘法电路，并将其转换为一个方程组来完成的，其中变量是所有线上的值，每个门有一个方程（例如，乘法为x6 = x4 * x7，加法为x8 = x5 + x9）。
下面是一个求x问题的例子，这样P(x) = x**3 + x + 5 = 35 (提示: x = 3):
我们按如下方式给门和线贴上标签：
在门和线上，我们有两种类型的约束：门约束（连接到相同门之间线的方程，例如a1 * b1 = c1）和复制约束（关于电路中任何位置的不同线相等的声明，例如a0 = a1 = b1 = b2 = a3 或者c0 = a1）。我们需要创建一个结构化的方程组，它最终将减少到一个非常少数量的多项式方程组，来表示这两个方程组。
在PLONK中，这些方程的设置和形式如下（其中，L = 左，R=右，O=输出，M=乘法，C=常数）：
每个Q值都是一个常数，每个方程中的常数（和方程数）对于每个程序都是不同的。每个小写字母值都是一个变量，由用户提供：ai 是第i个门的左输入线，bi是右输入线，ci是第i个门的输出线。对于加法门，我们设置：
将这些常数插入方程并进行简化，得到ai+bi-oi=0，这正是我们想要的约束条件。对于乘法门，我们设置：
对于将ai设置为某个常数x的常数门，我们设置：
你可能已注意到线的每一端，以及一组线中的每根线，显然必须具有相同的值（例如x）对应于一个不同的变量；到目前为止，没有什么能强迫一个门的输出与另一个门的输入相同（我们称之为“复制约束”）。PLONK当然有一种强制复制约束的方法，我们稍后会讨论这个问题。所以现在我们有一个问题，证明者想要证明他们有一堆Xai, Xbi以及Xci值满足了一堆相同形式的方程。这仍然是一个大问题，但不像“找到这个计算机程序的一个令人满意的输入”，这是一个非常结构化的大问题，我们有数学工具可用于“压缩”它。
FRI
FRI的全名是”Fast RS IOPP”（RS = “Reed-Solomon”, IOPP = “Interactive Oracle Proofs of Proximity”）。藉由FRI可以达到简洁地验证多项式。
修改多项式维度
这一步是为了后面验证做准备的。在验证过程使用了一个技巧，将多项式以2的次方一直递减为常数项（D, D/2, D/4 … 1），大幅减低了验证的复杂度。因此，需要先将多项式修改为2^n维度
假设上述的每个限制多项式（不是合成多项式喔）为Cj(x)，维度为Dj，D >= Dj 且D 等于2^n，为了达到D 维度，乘上一个维度（D -Dj）的多项式，
所以最终的合成多项式，如下
其中的αj、βj是由验证者(verifier)所提供，所以最终的多项式是由证明方(prover)跟验证方所共同组成。
*这小节的重点是将多项式修改成D维度，觉得多项式太烦可忽略
RS纠删码：
纠删码的概念是把原本的资料作延伸，使得部分资料即可以做验证与可容错。其方式是将资料组成多项式，藉由验证多项式来验证资料是否正确。举例来说，有d个点可以组成d-1 维的多项式y = f(x)，藉由验证f(z1) ?= y，来确定z1是否是正确资料。
回到上面的问题，怎么证明知道多项式？最直接的方式就是直接带入点求解。藉由纠删码的方式，假设有d+1个点，根据Lagrange插值法，可以得到一个d 维的多项式h(x)，如果如果两个多项式在（某个范围内）任意d 点上都相同（ f(z) = h(z), z = z1, z2…zd），即可证明我知道f(x)。但是我们面对的是高维度的多项式，d 是1、2百万，这样的测试太没效率，且不可行。FRI 解决了这个问题，验证次数由百万次变成数十次。
降低复杂度
假设最终的合成多项式为f(x)，藉由将原本的1元多项式改成2元多项式，以减少多项式的维度。假设f(x) = 1744 * x^{185423}，加入第二变数y，使y = x^{1000}，所以多项式可改写为g(x, y) = 1744*x^{423}*y ^{185}。藉由这样的方式，从本来10万的维度变成1千，藉由这种技巧大幅降低多项式的维度。在FRI 目前的实做，是将维度对半降低y = x²（f(x) = g(x, x²)）。
此外，还有另一个技巧，将一个多项式拆成两个较小的多项式，把偶数次方跟奇数次方拆开，如下：
f(x)= g(x²) + xh(x²)
假如：
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + a4x⁴ + a5x⁵ g(x²) = a0 + a2x² + a4x⁴,（g(x) = a0 + a2x + a4x²）h(x²) = a1x + a3x² + a5x⁴,（h(x) = a1 + a3x + a5x² ）
藉由这两个方法，可以将高维度的多项式拆解，重复地将维度对半再对半，以此类推到常数项。而FRI协议在流程上包含两阶段— 「提交」跟「查询」。
提交阶段：提交阶段就如同上述过程，将多项式拆解后，由验证者提供一乱数，组成新的多项式，再继续对多项式拆解，一直重复。
f(x) = f0(x) = g0(x²) + x*h0(x²) ==> f1(x) = g0(x) + α0*h0(x), ← α0（验证者提供）== > f2(x) = g1(x) + α1*h1(x), ← α1（验证者提供）==> . . .
查询阶段：这个阶段要验证证明者所提交的多项式f0(x), f1(x), f2(x), …是否正确，这边运用一个技巧，带入任意数z及-z（这代表在选域的时候，需满足L²= {x²：x ∊L}，这边不多提）。所以可以得
f0(z) = g0(z²) + z*h0(z²) f0(-z) = g0(z²) -z*h0(z²)
藉由两者相加、相减，及可得g0(z²)、h0(z²)，则可以计算出f1(z²)，再推导出f1(x)，以此类推验证证明者传来的多项式。
Interactive Oracle Proofs (IOPs)
藉由FRI（RS纠删码、IOPs），将验证次数由数百万降至20–30次（log2(d)），达到了简洁地验证。不过，我们解决了复杂度，但还有互动性！
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