博文名称：Reduce Dimensions for Single Cell
博文链接：https://towardsdatascience.com/reduce-dimensions-for-single-cell-4224778a2d67
发表时间：Aug 21, 2019

From Becht et al., Nature Biotechnology 2019

这是《生命科学的数学统计和机器学习》专栏中的第8篇文章，我试图涵盖生物信息学、生物医学、遗传学、进化科学等常见的分析技术。 今天我们将讨论应用于单细胞基因组数据的降维技术。 其中，我们将比较线性降维和非线性降维技术，以了解为什么tSNE和UMAP成为单细胞生物学的黄金标准。

单细胞数据的非线性结构 (Non-Linear Structure of Single Cell Data)

单细胞基因组数据是一种高维数据，大约有20 000 维，对应于蛋白质编码基因。 因此，为了简化数据复杂性并克服维度诅咒（维灾），可以从分析中消除冗余基因（redundant genes）。排除冗余基因并将数据投影到一个潜在空间（latent space），使该空间中数据的隐藏结构变得清晰透明是降维的目标。

从原始表达矩阵到潜在特征的处理过程：from Wang et al., Nature Methods 14, p. 414–416 (2017)

MNIST手写数字数据集的tSNE非线性降维

表达矩阵中的大量随机零值使得数据的行为类似于非线性Heaviside阶跃函数，即无论“非零”有多少，基因表达都是零或非零。让我们展示针对癌症相关成纤维细胞 (CAF) 单细胞数据集的进行的基本线性和非线性降维技术。

线性降维技术

我们先从线性降维技术开始。在这里，我们读取单细胞CAFs表达数据，并进行log-transform处理，log-transform被视为是对数据进行归一化的方法。通常，列是基因，行是细胞，最后一列是CAFs数据集中发现的4个细胞群（cluster）的 ID，即该细胞的cluster名称。

import numpy as np
import pandas as pd
expr = pd.read_csv('CAFs.txt',sep='\t')
print("\n" + "Dimensions of input file: " + str(expr.shape) + "\n")
print("\n" + "Last column corresponds to cluster assignments: " + "\n")
print(expr.iloc[0:4, (expr.shape[1]-4):expr.shape[1]])
X = expr.values[:,0:(expr.shape[1]-1)]
Y = expr.values[:,expr.shape[1]-1]
X = np.log(X + 1)

现在我们将使用scikit-learn流形学习库（scikit-learn manifold learning）应用最主流的线性降维技术。 查看我的github站点获得完整的脚本，为了简单起见，这里只显示线性判别分析 (Linear Discriminant Analysis，LDA) 的代码：

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
model = LinearDiscriminantAnalysis(n_components = 2, priors = None, shrinkage = 'auto', 
                                   solver = 'eigen', store_covariance = False, tol = 0.0001)
lda = model.fit_transform(X, Y)
plt.scatter(lda[:, 0], lda[:, 1], c = Y, cmap = 'viridis', s = 1)
plt.xlabel("LDA1", fontsize = 20); plt.ylabel("LDA2", fontsize = 20)
feature_importances = pd.DataFrame({'Gene':np.array(expr.columns)[:-1], 
                                    'Score':abs(model.coef_[0])})
print(feature_importances.sort_values('Score', ascending = False).head(20))

CAFs单细胞数据集应用线性降维技术

MDS试图保持全局结构，而LLE则保持数据的局部结构

非线性降维技术

我们转向非线性降维技术，检查它们是否能够解决单细胞数据中的所有隐藏结构。同样，可以在github上找到完整的代码，为了简单起见，这里只展示了tSNE算法的代码，已知该算法难以处理真正的高维数据，因此通常只在20–50个预降维数据上运行，例如PCA。

CAFs单细胞数据集应用非线性降维技术

from sklearn.manifold import TSNE
from sklearn.decomposition import PCA
X_reduced = PCA(n_components = 30).fit_transform(X)
model = TSNE(learning_rate = 10, n_components = 2, random_state = 123, perplexity = 30)
tsne = model.fit_transform(X_reduced)
plt.scatter(tsne[:, 0], tsne[:, 1], c = Y, cmap = 'viridis', s = 1)
plt.title('tSNE on PCA', fontsize = 20)
plt.xlabel("tSNE1", fontsize = 20)
plt.ylabel("tSNE2", fontsize = 20)

在这里我们看到，大多数非线性降维技术通过保留数据的局部结构（相邻点之间的连接）成功地解决了黄色小细胞群。例如，局部线性嵌入（Locally Linear Embedding，LLE）通过一组局部线性平面逼近非线性流形，而这对于重建稀有细胞群（例如黄色小细胞群）至关重要。最好的可视化来自 tSNE 和 UMAP。tSNE 捕获局部结构以及LLE，在这种特定情况下似乎对原始表达式数据有效，但是使用PCA进行预降维通常会提供更为精简和独特的聚类。相比之下，UMAP保留了局部和全局数据结构，并基于拓扑数据分析，其中流形表示为基本单纯形（Simplex）单元的集合，这确保了数据点之间的距离在高维流形中看起来并不完全相等，但类似于2D 空间的距离分布。换言之，UMAP是一次优雅的尝试，旨在打破维度诅咒，我将在另一篇文章中专门介绍UMAP背后的数学。

总结

在这篇文章中，我们了解到单细胞基因组数据具有非线性结构（non-linear structure ），这是由dropout效应导致表达矩阵中大量随机零值的原因。 线性流形学习（linear manifold learning）技术保留了数据的全局结构，但是不能完全解析所有存在的细胞群。 相比之下，保持数据点之间的局部连通性（LLE、tSNE、UMAP）是单细胞基因组数据成功降维的关键因素。

基本概念

1. 流形学习方法(Manifold Learning)
简称流形学习，自2000年在著名的科学杂志《Science》被首次提出以来，已成为信息科学领域的研究热点。在理论和应用上，流形学习方法都具有重要的研究意义。假设数据是均匀采样于一个高维欧氏空间中的低维流形，流形学习就是从高维采样数据中恢复低维流形结构，即找到高维空间中的低维流形，并求出相应的嵌入映射，以实现维数约简或者数据可视化。它是从观测到的现象中去寻找事物的本质，找到产生数据的内在规律。

目的：在保持流形上点的某些几何性质特征的情况下，找出一组对应的内蕴坐标(intrinsic coordinate)，将流形尽量好的展开在低维平面上，这种低维表示也叫内蕴特征(intrinsic feature)，外围空间的维数叫观察维数，其表示叫自然坐标，在统计上称为observation。

寻找一种映射，从高维空间中恢复出低维流形来，从而利用流形的低维坐标表示高位空间的数据点，实现数据降维的目的。

2. 流形学习的分类
分线性和非线性两种；
线性的流形学习方法：主成份分析（PCA）
非线性的流形学习方法：等距映射（Isomap）、拉普拉斯特征映射（Laplacian eigenmaps，LE）、局部线性嵌入(Locally-linear embedding，LLE)，tSNE，UMAP