高等代数理论基础10：有理系数多项式

有理系数多项式

每个次数 $\ge 1$ 的有理系数多项式都能唯一地分解称不可约的有理系数多项式的乘积

两个事实

1.有理系数多项式的因式分解问题可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题,进而解决求有理系数多项式的有理根问题

2.在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式

给定有理系数多项式f(x)

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$

取 $c\in Z$ ,使得cf(x)为整系数多项式

若cf(x)各项系数有公因子,则提取公因子得

$cf(x)=dg(x)$

即 $f(x)={d\over c}g(x)$

其中g(x)是整系数多项式,且各项系数没有异于 $\pm 1$ 的公因子

本原多项式

定义：若一个非零的整系数多项式 $g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0$ 的系数 $b_n,b_{n-1},\cdots,b_0$ 没有异于 $\pm1$ 的公因子,即它们互素,则称g(x)为一个本原多项式

注：任何一个非零的有理系数多项式f(x)都可以表示成一个有理数r与一个本原多项式g(x)的乘积,即 $f(x)=rg(x)$

以上表示法除了差一个正负号是唯一的,即

若 $f(x)=rg(x)=r_1g_1(x)$ ,其中 $g(x),g_1(x)$ 都是本原多项式,则必有 $r=\pm r_1,g(x)=\pm g_1(x)$

f(x)与g(x)仅差一个常数倍,故f(x)的因式分解问题可以归结为本原多项式g(x)的因式分解问题

一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积一致

高斯引理

引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式

证明：

$给定本原多项式f(x),g(x)$

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$

$g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0$

$h(x)=f(x)g(x)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\cdots+d_0$

$若h(x)不是本原的$

$即h(x)的系数d_{n+m},d_{n+m-1},\cdots,d_0有一异于\pm 1的公因子$

$即有一素数p能整除h(x)的所有系数$

$f(x)是本原的\Rightarrow p不能同时整除f(x)的所有系数$

$令a_i是第一个不能被p整除的系数$

$即p|a_0,\cdots,p|a_{i-1},p\nmid a_i$

$同理,g(x)是本原的,令b_j是第一个不能被p整除的系数$

$即p|b_0,\cdots,p|b_{j-1},p\nmid b_j$

$对于h(x)的系数d_{i+j}$

$由乘积定义知$

$d_{i+j}=a_ib_j+a_{i+1}b_{j-1}+a_{i+2}b_{j-2}+\cdots+a_{i-1}b_{j+1}+a_{i-2}b_{j+2}+\cdots$

$由假设知$

$p|d_{i+j},p\nmid a_ib_j,矛盾$

$\therefore h(x)一定是本原多项式\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理：若一非零整系数多项式能分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,则它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积

证明：

$设整系数多项式f(x)有分解式$

$f(x)=g(x)h(x)$

$其中g(x),h(x)是有理系数多项式$

$且\partial(g(x))\lt\partial(f(x)),\partial(h(x))\lt\partial(f(x))$

$令f(x)=af_1(x),g(x)=rg_1(x),h(x)=sh_1(x)$

$其中f_1(x),g_1(x),h_1(x)都是本原多项式$

$a\in Z,r,s\in Q$

$则,af_1(x)=rsg_1(x)h_1(x)$

$\therefore rs=\pm a$

$即rs\in Z$

$\therefore f(x)=(rsg_1(x))h_1(x)$

$其中rsg_1(x)与h_1(x)都是整系数多项式,$

$且次数多低于f(x)的次数\qquad \mathcal{Q.E.D}$

推论：设f(x),g(x)是整系数多项式,且g(x)是本原的,若f(x)=g(x)h(x),其中h(x)是有理系数多项式,则h(x)一定是整系数的

求整系数多项式全部有理根

定理：给定整系数多项式f(x), $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ ,若 ${r\over s}$ 是f(x)的一个有理根,其中r,s互素,则 $s|a_n,r|a_0$ ,特别地,若f(x)的首项系数 $a_n=1$ ,则f(x)的有理根都是整根,且是 $a_0$ 的因子

证明：

$\because {r\over s}是f(x)的一个有理根$

$\therefore 在有理数域上(x-{r\over s})|f(x)$

$\therefore (sx-r)|f(x)$

$\because r,s互素$

$\therefore sx-r为一个本原多项式$

$\therefore f(x)=(sx-r)(b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0)$

$其中b_{n-1},\cdots,b_0都是整数$

$比较系数可得$

$a_n=sb_{n-1},a_0=-rb_0$

$\therefore s|a_n,r|a_0\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：证明 $f(x)=x^3-5x+1$ 在有理数域上不可约

证：

$若f(x)可约,则f(x)至少有一个一次因子$

$即f(x)有一个有理根$

$f(x)的有理根只可能是\pm 1$

$经检验,\pm 1全不是根$

$\therefore f(x)在有理数域上不可约$

Eisenstein判别法

定理：给定整系数多项式f(x), $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ ,若有一素数p使得

1. $p\nmid a_n$

2. $p|a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_0$

3. $p^2\nmid a_0$

则f(x)在有理数域上不可约

证明：

$若f(x)在有理数域上可约$

$则f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积$

$f(x)=(b_lx^l+b_{l-1}x^{l-1}+\cdots+b_0)(c_mx^m+c_{m-1}x^{m-1}+\cdots+c_0)$

$其中l,m\lt n,l+m=n$

$\therefore a_n=b_lc_m,a_0=b_0c_0$

$p|a_0\Rightarrow p|b_0或p|c_0$

$p^2\nmid a_0\Rightarrow p不能同时整除b_0,c_0$

$不妨设p|b_0,p\nmid c_0$

$p\nmid a_n\Rightarrow p\nmid b_l$

$假设b_0,b_1,\cdots,b_l中第一个不能被p整除的是b_k$

$比较f(x)中x^k系数可得$

$a_k=b_kc_0+b_{k-1}c_1+\cdots+b_0c_k$

$其中a_k,b_{k-1},\cdots,b_0都能被p整除$

$\therefore p|b_kc_0$

$p为素数,b_k,c_0中至少有一个被p整除,矛盾$

$\therefore f(x)不可约\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：对任意的n,多项式 $x^n+2$ 在有理数域上是不可约的

注：在有理数域上存在任意次数的不可约多项式

最后编辑于：2019.02.02 12:11:13

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 216,402评论 6赞 499
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,377评论 3赞 392
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 162,483评论 0赞 353
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,165评论 1赞 292
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,176评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,146评论 1赞 297
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,032评论 3赞 417
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,896评论 0赞 274
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,311评论 1赞 310
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,536评论 2赞 332
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,696评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,413评论 5赞 343
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,008评论 3赞 325
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,659评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,815评论 1赞 269
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,698评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,592评论 2赞 353