数学分析理论基础12：连续性概念

连续性概念

函数在一点的连续性

定义1：设f在 $U(x_0)$ 上有定义,若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ,则称f在点 $x_0$ 连续

定义2：若 $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$ ,则 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续

定义3：若 $\forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta\gt 0$ ,使得 $|x-x_0|\lt \delta$ 时有 $|f(x)-f(x_0)|\lt \varepsilon$ ,则称f在点 $x_0$ 连续

注：f在点 $x_0$ 连续即极限运算 $\lim\limits_{x\to x_0}$ 与对应法则f可交换, $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(\lim\limits_{x\to x_0}x)$

例：证明函数 $f(x)=xD(x)$ 在点 $x=0$ 连续,其中 $D(x)$ 为Dirichlet函数

证：

$f(0)=0,|D(x)|\le 1$

$\forall \varepsilon\gt 0,要证|f(x)-f(0)|\lt \varepsilon$

$只需证|xD(x)|\le |x|\lt \varepsilon$

$取\delta=\varepsilon,当|x-x_0|\lt \delta时有$

$|f(x)-f(0)|\lt \varepsilon$

$\therefore f(x)在点x=0连续$

单侧连续

定义：设f在 $U_+(x_0)(U_-(x_0))$ 内有定义,若 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0))$ ,则称f在点 $x_0$ 右(左)连续

定理：f在点 $x_0$ 连续 $\Leftrightarrow$ f在 $x_0$ 既是右连续又是左连续

间断点及其分类

定义：设f在 $U^\circ(x_0)$ 内有定义,若f在点 $x_0$ 无定义,或f在点 $x_0$ 有定义而不连续,则称点 $x_0$ 为f的间断点或不连续点

1.f在点 $x_0$ 无定义或 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 不存在

2.f在点 $x_0$ 有定义且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在,但 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)$

间断点分类

1.可去间断点

若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ ,而f在点 $x_0$ 无定义,或有定义但 $f(x_0)\neq A$ ,则称 $x_0$ 为f的可去间断点

设 $x_0$ 为函数f的可去间断点,且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ ,定义一个函数 $\hat{f}=\begin{cases}\hat{f}(x)=f(x)\qquad x\neq x_0\\ \hat{f}(x_0)=A\qquad x=x_0\end{cases}$

显然对于 $\hat{f}$ , $x_0$ 是它的连续点

2.跳跃间断点

若f在点 $x_0$ 的左、右极限都存在,但 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\neq \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$ ,则称点 $x_0$ 为f的跳跃间断点

注：可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点,第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在

3.第二类间断点

函数的所有其他形式的间断点,即,使函数至少有一侧极限不存在的点

例：Dirichlet函数 $D(x)$ 定义域R上每一点x都是第二类间断点

区间上的连续函数

定义：若f在区间I上的每一点都连续,则称f为I上的连续函数

对于闭区间或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续

分段连续

定义：若f在区间[a,b]上仅有有限个第一类间断点,则称f在[a,b]上分段连续

例：证明Riemann函数 $R(x)=\begin{cases}{1\over q}\qquad x={p\over q}(p,q\in Z_+,{p\over q}为既约真分数)\\ 0\qquad x=0,1和(0,1)内的无理数\end{cases}$

在(0,1)内任何无理点处都连续,任何有理点处都不连续

证：

$设\xi\in(0,1)为无理数$

$\forall \varepsilon\gt 0,不妨设\varepsilon\lt {1\over 2}$

$满足{1\over q}的正整数q显然只有有限个$

$但至少有一个q=2$

$\therefore 使R(x)\ge \varepsilon 的有理数x\in(0,1)只有有限个$

$设为x_1,\cdots,x_n$

$取\delta=min\{|x_1-\xi|,\cdots,|x_n-\xi|,\xi,1-\xi\}$

$\forall x\in U(\xi;\delta)\subset (0,1),当x\in Q时有R(x)\lt \varepsilon$

$x\in Q^c时有R(x)=0$

$\therefore \forall x\in U(\xi;\delta)有|R(x)-R(\xi)|=R(x)\lt \varepsilon$

$\therefore R(x)在无理点\xi处连续$

$设{p\over q}为(0,1)内任一有理数$

$取\varepsilon_0={1\over 2q}$

$\forall \delta\gt 0,在U({p\over q};\delta)内可取无理数x\in (0,1)使得$

$|R(x)-R({p\over q})|={1\over q}\gt \varepsilon_0$

$\therefore R(x)在任何有理点处都不连续$

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