在初中阶段，我们学习了一次函数反比例函数，而二次函数又有什么他自己的特点，以及与其他函数有何关联呢？
首先，我们先从他们的数来观察，一次函数也就是我们熟知的y=kx+b，那么二次函数的是什么呢？我们可以类比之前所学的单项式与多项式就可以得知，二次函数就是一个函数中有一个未知数的次数为二。所以我们最开始就可以写出这样一个式子：Y=kx^2+b 。
然后我们再看它的图像，根据列表描点，我们可以画出这样一个图像：
我们可以观察发现，这个图像整体来说呈抛物线，这个抛物线的顶点交于原点，并且抛物线两边对称于y轴，那么这个图像真的是一个函数吗？其实是的，因为函数的定义就是当x取一个定值时，y有唯一一个值与其对应，而这个图像也正是这样。但是我们可以发现，跟一次函数不一样的地方就在于，当这个图像位于y轴左边时，y随x的增大而减小，当这个图像在y轴右边时，y随x的增大而增大。并且这个图像还有一个很神奇的特点：不像并没有任何一个点在y轴的负半轴。这其实很好理解，因为y=x^2这个式子中x方不可能为负，这也就导致了y值并没有负数。
在一个函数中，x的变化其实有很多，因为x的前面有系数，当有了系数，这个图像又会发生很大的变化。比如说我们可以先假设x的系数为-1，那么，我们根据列表描点就可以得出这样一幅图像：
将图像画出来之后，我们可以发现，整个图像与之前的完全相反，从数的角度来说，当图像与x的负半轴时，y随x的增大而增大，当图像位于x的正半轴时，y随x的增大而减小。而这又是为什么呢？我们都知道x^2这一个数字具有非负性，而当它的前面加了一个负号时，Y值也就只能为负不可能为正。
那么，我们如果将x方前面的系数增大时图像又会发生什么变化呢？
在这个图像中，我们可以很明显的看出，当x方前面的系数增大时，整个图像的开口会随之减小。而反之，图像的开口就会增大。
我们将二次函数的式子再变得一般一些，再加上后面的b，那么可以再根据列表描点，再画出一幅图像：
这两个图像由上到下，分别是当b=1以及b=- 1时的两个图像，我们可以根据观察发现，当函数中加了b之后，整个图像的顶点会随之变化，当b为正数时，函数的顶点会出现在y的正半轴，当b为负数时，函数的顶点会在y的负半轴。而这个现象从数的角度就可以理解为：因为x方具有非负性，那么，x方的最小数也就是零，而他后面又加了b之后y的最小值，也就会根据b的值而变化。所以可以说b决定了函数顶点位于y轴的位置。
那么这个二次函数的式子能否再变得一般一些呢？我们都知道一个最高次数为二次的多项式中，可能还会有一次项。所以如果将这个二次函数的式子再化为一般式就可以变成：y=ax^2+bx+c。我们可以带入一些特殊的数字来观察，就比如y=x^2+2 x+1，这个式子也就可以利用完全平方和公式化为y=（x+1）^2。那么这个式子的函数表达式又是如何呢？
我们可以先从数的角度对他分析，首先，我们要确定这个二次函数的顶点坐标，也就是Y的最小值。而我们知道一个数的平方具有非负性，那么，这个数的最小值也就是零，所以我们可以假设此时x+1=0，那么这时候x也就等于负一。所以我们就可以得到当x=- 1的时候y有最小值，所以（-1，0）就是这个函数的顶点坐标，也可以称之为对称轴。又因为y=（x+1）^2中的1是由y=ax^2+bx+c中的b和c决定的，所以我们可以很明显的感受到，二次函数的对称轴的坐标同时被b和c影响着。
