第十二讲转动定律程惠甜

转动定律

知识点

类比法理解牛顿第二定律和转动定律
单个刚体的转动
转动、平动组合体：
- 先根据隔离法对各个物件进行简单的受力分析；
- 对平动的物件(记为 $i$ )按照牛顿第二定律 $F_{i}=m_{i}a_{i}$ 列方程；
- 对转动的物件(记为 $j$ )按照转动定律 $M_{j}=I_{j}\alpha_{j}$ 列方程；
- 根据约束条件列方程。

表达题

转动定律请与平动进行“类比”理解。平动有 $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ ， $a=\frac{F}{m}$ ，那么转动定律的公式是

解答： $\frac{d\vec{M}}{dr}=\vec{F},\alpha=\frac{M}{J}$

均匀细棒左端固定。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，当下落至图示位置时，角加速度是多少？

上题图.png

解答： $\alpha=\frac{M}{J}=\frac{\frac{l}{2}mg\cos\theta}{m(\frac{l}{2})^2}=\frac{2g\cos\theta}{l}$

重滑轮，半径为R，质量为M，转动惯量为 $\frac{1}{2}MR^{2}$ 。今两端的拉力分别为 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ ，且约定角动量的方向垂直于纸面向外为正，则该滑轮的角加速度是多少？

解答： $F=|T_1-T_2|,\alpha=\frac{M_*}{J}=\frac{RF}{\frac{1}{2}MR^2}=\frac{2|T_1-T_2|}{MR}$

一质量为 $m$ 的小球以 $v_{0}$ 的速率沿 $x$ 轴前进，在恒定的摩擦力的作用下， $\Delta t$ 时间内正好停止运动，则该摩擦力的大小为( $\color{red}{\frac{mv_0}{\Delta{t}}}$ )。一飞轮以 $\omega_{0}$ 的转速旋转，转动惯量为 $I$ ，现加一恒定的制动力矩使飞轮在 $\Delta t$ 时间内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为

解答： $\omega_{0}=\alpha\Delta{t}$
$M=\alpha{I}$ 则力矩 $M=\frac{\omega_{0}I}{\Delta{t}}$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101005.png

则对 $M$ 列方程，有如下可能的方程

(1) $FR-TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha$

(2) $FR+TR=\frac{1}{2}MR^{2}\cdot\alpha$

对 $m$ 列方程，有如下列法

(3) $T-mg=m\cdot a$

(4) $mg-T=m\cdot a$

对约束方程，有如下列法

(5) $a=R\alpha$

(6) $a=R\alpha^{2}$

以上正确的是

解答： $（1）,（3）,（5）$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101006.png

则对 $M$ 列方程：

$T_1-T_2=\frac{1}{2}MR^2\cdot\alpha$

对 $m_{1}$ 列方程：

$m_1g-T_1=m_1\cdot{a}$

对 $m_{2}$ 列方程：

$T_2-m_2=m_2\cdot{a}$

 **约束方程：**

$a=\alpha{R}$

图示为一个多体系统，预设加速运动方向用黑色表示。

Fig101007.png

则对 $M_{1}$ 列方程，有如下可能的方程

$T_1-T_2=\frac{1}{2}MR_1^2\cdot\alpha_1$

**对$M_{2}$列方程，有如下可能的方程**

$T_2-T_3=\frac{1}{2}MR_2^2\cdot\alpha_2$

**对$m_{3}$列方程，有如下列法**   

> $m_3-T_1=m_{3}a_{3}$



**对$m_{4}$列方程，有如下列法**   

>  $T_3-m_4=m_4{}a_{4}$



**对约束方程，有如下列法**  

>$a_3=a_4=R_1\alpha_1=R_2\alpha_2$