欧几里得认为质数有无限个，为此他用反证法来证明。
假设有最大的质数P，将已知的所有质数相乘再加1，即：
M=2×3×5×7×11×···×···×P+1，
那么M不可能被已知的任何一个质数整除，M有可能是已知质数以外的一个质数，或者能被一个已知质数以外的质数整除，所以必存在比假设的最大质数更大的质数。即质数个数是无限的。
是不是很巧妙？
两个互相矛盾的判断，运用排中律，非此即彼即可得出，二者必有一真的结论，因此，当需要判断a为真时，若不便直接证明，可以先证明与其具有矛盾关系的“a为假”为假，由此可得a为真，这就是反证法。
反证法的故事有很多。
从前,有个国王在处决囚犯之前,总要叫其抽签决定自己的命运,即在两张小纸片上,一张写活字,一张写死字,抽到活字的囚犯则可幸免一死.
一天,一个囚犯将要被处决,他的死对头买通了狱卒,把两张纸片都写上了死字让他去抽,认为这下他必死无疑。谁知狱卒把此消息透露给了囚犯,囚犯一听,乐得眉开眼笑。
行刑当日,国王宣布抽签开始后,囚犯胸有成竹、不慌不忙地抽了一张纸片，谁也不让看就吞进了肚子里。这使在场的人慌了手脚，因为谁都搞不清囚犯抽到的是死还是活。国王派人查看了剩下的纸片,发现是死，由此反证可知被囚犯吞下的是活,于是,国王下令将囚犯痛打一顿,以责罚他不该擅自吞吃纸片,并将他释放了.。
囚犯机智地运用反证法保全了性命,真可谓棋高一招。
