在人类行为和社交网络等社会学数据分析中，"厚尾" "长尾" “幂律” “指数”等数学术语频繁出现，新手阅读文献时往往摸不着头脑。在这篇文章中，我将逐一梳理这些常见概念的关系。

0. 指数分布

在介绍厚尾分布之前，我们需要先理解一个基础连续概率分布——指数分布。指数分布一般用来刻画独立随机事件发生的时间间隔。例如，你在公交站等车，公交车到达的时间受天气，路况，交通等不确定因素影响，两班车的间隔不一定是均匀的。在这种情况下，指数分布可以用来估计两班公交之间的时间间隔。

1. 厚尾分布是什么？

厚尾分布一般指“尾部”比指数分布“厚重“的分布，如下图所示，红色的曲线为指数分布的CCDF，蓝色为厚尾分布的CCDF

尾部厚重

常见厚尾分布有

帕雷托Pareto分布，也称为幂率power-law分布, 具有渐近尺度不变性，对于性质分析很有帮助

power-low distribution
对数正态 LogNormal
Weibull
Zipf
Cauchy
Student’s t
Frechet

厚尾分布的子类目

Regularly varying
次指数分布Subexponential，服从浩劫原则，对于随机游走等问题的研究很有帮助

Subexponential Distributions

长尾分布Long-tailed，服从等待时间爆炸原则，对于极端情形研究很有帮助

Long-tailed Distributions

Fat-tailed

下面这张图说明厚尾分布的各种类型

Types of heavy-tailed

2. 厚尾分布的性质

厚尾分布具有许多有趣的特性

帕雷托准则Pareto principle : 20%的人拥有社会上80%的财富
方差无限, 甚至均值无限
重大事件相对发生频繁

它们的3个基本性质

尺度不变性Scale Invariance

尺度不变性

定理可证明，一个分布具有尺度不变性当且仅当这个分布是帕累托分布

渐近尺度不变性

定理可证明，一个分布具有渐近尺度不变性当且仅当这个分布是Regular varying分布

regularly varying
浩劫原则Catastrophe principle
通俗意义上来说，浩劫原则指的是仅需要极少甚至一个意外就可以带来巨大的灾难。浩劫原则是厚尾分布的特性之一。相对而言，轻尾分布则服从阴谋原则，可理解为需要多数样本聚合才能产生一定的效果。

浩劫原则和阴谋原则

一个分布服从浩劫原则当且仅当这个分布是一个次指数分布
等待时间爆炸residual life blows up
通俗理解，如果你没有很快收到邮件答复，那么你可能永远收不到了~假定你已经等待了x时间，那么剩余等待时间的分布是

residual life distribution

如果是一个指数分布

residual life distribution of exponential

它仍然是指数分布，也就是说白等了x时间。如果是一个帕雷托分布，那就很可怕了，等待时间会随着已等时间x上升！

residual life distribution of pareto

mean residual life & hazard rate

DHR IMRL

3. 什么时候会出现厚尾分布？

考虑独立同分布的随机变量Xi，它们的和如何变化？

方差有限时，随机变量的和服从0均值的正态分布

CLT

方差无限时，随机变量的和服从厚尾分布

GCLT

在人类生活中，厚尾分布比正态分布更经常出现

累加性过程 Additive Processes,如上述方差无限时
乘积性过程 Multiplicative Proces

example of multiplicative process

在乘积性中心极限法则的作用下，对数正态分布出现

log normal

MCLT

如果在乘积性过程中加入噪声或者是较低的屏障，幂律分布出现~

power law
极值过程 Extremal Process
极值过程也会导致厚尾分布的出现，l

extremal process