正态分布

正态分布的定义

若 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\,e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}, -\infty<x<+\infty$ ，

其中 $-\infty<\mu<\infty,\sigma>0$ ，就称 $X$ 服从参数为 $\mu,\sigma$ 的正态分布（或高斯分布），

记为 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ .

dy.jpg

特征：

$f(x)$ 关于 $x=\mu$ 对称；
当 $x\leq \mu$ ， $f(x)$ 是严格单调递增函数
$f_{max}=f(\mu)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
$\lim_{|x-\mu|\to\infty} f(x) = 0$

两个参数的含义：

当固定 $\sigma$ ，改变 $\mu$ 的大小， $f(x)$ 图形的形状不变，只是沿着 $x$ 轴作平移变换；
$\mu$ 称为位置参数（决定对称轴位置）。
当固定 $\mu$ ，改变 $\sigma$ 的大小时， $f(x)$ 图形的对称轴不变，而形状在改变， $\sigma$ 越小，图形越高越瘦， $\sigma$ 越大，图形越矮越胖。
$\sigma$ 称为尺度参数 （决定曲线分散程度）。

正态分布的概率计算

若 $X\sim N(\mu, \sigma^2)，$ 对于实数 $x$ ，

$P(X\leq x) = F(x) = \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\, \int_{-\infty}^{x} \, e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, {\rm d}t = ?$

这里的积分
$\int_{-\infty}^{x} \, e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, {\rm d}t$

可以通过以下的方法进行计算：

方法一：用 EXCEL,MATLAB,R 等软件来计算；

方法二：用数值积分法；

方法三：转化为标准正态，然后利用标准正态分布表来求。

标准正态分布 $\quad$

若 $Z\sim N(0,1)$ ，称 $Z$ 服从标准正态分布.

bz.jpg

$Z$ 的概率密度函数：

$\varphi(z)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{z^2}{2}}$

$Z$ 的分布函数：

$\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \,e^{-\frac{t^2}{2}} \, {\rm d}t$

标准正态分布函数表（ $\Phi(z)$ 值），可参考如下网站：

https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_normal_table

bz-dc.jpg

-bz.jpg

这里可以注意到 $\varPhi(z)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{z^2}{2}}$ 关于 y 对称性，

则标准正态分布的分布函数有一个重要性质：

$\Phi(-z_0)=1-\Phi(z_0)，$

对于任意的实数 $z_0$ 都成立。

性质：当 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ 时， $\cfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).$

证明： 对于任意实数 $z$ ，

$P(\cfrac{X-\mu}{\sigma}\leq z) = P(X\leq \sigma z+\mu) = \int_{-\infty}^{\sigma z+\mu}\, \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\, e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^{2}}} \, {\rm d}t$

令 $s = \cfrac{t-\mu}{\sigma}$ ，则 $\cfrac{(t-\mu)^2}{2\sigma^{2}}=\cfrac{s^2}{2}，{\rm d}s=\cfrac{1}{\sigma}\,{\rm d}t$

所以上面的式子

$\int_{-\infty}^{\sigma z+\mu}\, \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\, e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^{2}}} \, {\rm d}t = \int_{-\infty}^{z} \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{s^2}{2}} \,{\rm d}s = \Phi(z)$

由此可见，当 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ 时，对于任意实数 $a$ ，有

$F_X(a) = P(X\leq a) = P(\cfrac{X-\mu}{\sigma} \leq \cfrac{a-\mu}{\sigma}) = \Phi(\cfrac{a-\mu}{\sigma})$

例 1： 一批钢材（线材）长度（cm） $X\sigma N(\mu, \sigma^2), \mu=100, \sigma=2,$
求：
（1）这批钢材长度小于 97.8 的概率；
（2）这批钢材长度落在区间（97.8，103）的概率。

解：

（1）
$P(X<97.8) = P(\cfrac{X-\mu}{\sigma}<\cfrac{97.8-\mu}{\sigma})=\Phi(\cfrac{97.8-\mu}{\sigma})$

$=\Phi(\cfrac{97.8-100}{2})=\Phi(-1.1)=1-\Phi(1.1)$

通过查表，可以得到 $\Phi(1.1)=0.86433$

$\because 1-\Phi(1.1)=1-0.86433=0.13576$

（2）
$(P(97.8<X<103)=P(\cfrac{97.8-\mu}{\sigma}<\cfrac{X-\mu}{\sigma}<\cfrac{103-\mu}{\sigma})$

$=\Phi(\cfrac{103-100}{2})-\Phi(\cfrac{97.8-100}{2})=\Phi(1.5)-\Phi(-1.1)$

查表，得到 $\Phi(1.5)=0.93319$ ，由（1）可知 $\Phi(-1.1)=0.13576$

$\because \Phi(1.5)-\Phi(-1.1)=0.93319-0.13576=0.79743.$

例 2： 用天平称一实际质量为 $\mu$ 的物体，天平的读书记为随机变量 $X$ ，若 $X\sim N(\mu, \sigma^{2})$ ，求读书与 $\mu$ 的偏差在 $3\sigma$ 范围之内的概率。

解：由题意知，题实际要求的是：

$P(|X-\mu|<3\sigma)$ =P( $-3\sigma<X-\mu<3\sigma)=P(-\cfrac{3\sigma}{\sigma}<\cfrac{X-\mu}{\sigma}<\cfrac{3\sigma}{\sigma})$

$=P(-3<\cfrac{X-\mu}{\sigma}<3)=\Phi(3)-\Phi(-3)=\Phi(3)-\{1-\Phi(3)\}$

$=2\Phi(3)-1 \overset{\text{查表}}{=}2\times 0.99865 - 1 = 0.9973$

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