Goldstein《Classical Mechanics》p.30 derivations 5.思路

$\bullet$ 两个轮子虽然固定在同一根转轴上，但是根据题目，他们的旋转是独立的。如果沿用之前example里对角度的定义，转轴与 $x$ 轴的夹角为 $\theta$ ，两轮转动过的角度则分别为 $\phi$ 和 $\phi^{\prime}$ 。

$\bullet$ 根据题目的要求，设转轴中心点的坐标为 $(x,y)$ ，不妨设轮一的质心为 $\mathbf{r}_1 = (x_1, y_1)^{T}$ ，轮二的质心为 $\mathbf{r}_2 = (x_2, y_2)$ 。

$\bullet$ 根据几何关系可以的出结论:

$\begin{cases}x_1 = x - \frac{b}{2}\cos \theta\\ y_1 = y - \frac{b}{2}\sin \theta\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x_2 = x+ \frac{b}{2}\cos\theta\\ y_2 = y + \frac{b}{2}\sin\theta\end{cases}$

可以消去 $\theta$ ：

$\begin{cases}x = \frac{x_1 + x_2}{2}\\ y = \frac{y_1 + y_2}{2}\end{cases}$ ，求对时间的导则有： $\begin{cases}\dot{x} = \frac{\dot{x_1} + \dot{x_2}}{2}\\ \dot{y} = \frac{\dot{y_1} + \dot{y_2}}{2}\end{cases}$

接下来需要分别找出 $\dot{x}$ 和 $\dot{y}$ 。

$\bullet$ 两轮各自的速度总是垂直于转轴，可将其分解在沿 $x$ 轴和沿 $y$ 轴方向：

$\begin{cases}\dot{x}_1 = v\sin\theta = a\dot{\phi}\sin\theta\\\dot{y}_1 = -v\cos\theta = -a\dot{\phi}\cos\theta\end{cases}$ 和 $\begin{cases}\dot{x}_2 = v^{\prime}\sin\theta = a\dot{\phi^{\prime}}\sin\theta\\\dot{y}_2 = -v^{\prime}\cos\theta = -a\dot{\phi^{\prime}}\cos\theta\end{cases}$

代入得到：

$\begin{cases}2\dot{x} = a\sin\theta(\dot{\phi} + \dot{\phi^{\prime}})\\2\dot{y} = -a\cos\theta(\dot{\phi} + \dot{\phi^{\prime}})\end{cases}$

$\bullet$ 第一个等式左右同乘 $\cos\theta$ ，第二个等式左右同乘 $\sin\theta$ ，加起来可以得到第一个非完整约束：

$\boxed{2\dot{x}\cos\theta + 2\dot{y}\sin\theta = 0}$

$\bullet$ 第一个等式同乘 $\sin\theta$ ，第二个等式同乘 $\cos\theta$ ，加起来可得到第二个非完整约束：

$\boxed{\dot{x}\sin\theta - \dot{y}\cos\theta = \frac{a}{2}(\dot{\phi}+\dot{\phi^{\prime}})}$

$\bullet$ 最后一个，首先根据：

$\begin{cases}x_1 = x - \frac{b}{2}\cos \theta\\ y_1 = y - \frac{b}{2}\sin \theta\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x_2 = x+ \frac{b}{2}\cos\theta\\ y_2 = y + \frac{b}{2}\sin\theta\end{cases}$

这次，我们把 $x，y$ 消去：

$\begin{cases}x_2 - x_1 = b\cos\theta\\y_2 - y_2 = b\sin\theta\end{cases}$

求时间的导：

$\begin{cases}\dot{x_2} - \dot{x_1} = -b\sin\theta\dot{\theta}\\\dot{y_2} - \dot{y_2} = b\cos\theta\dot{\theta}\end{cases}$

利用之前得到的速度表达式，这两个等式，不管使用哪一个，代入后得到的结果都是一样的：

$a\dot{\phi^{\prime}}\sin\theta - a\dot{\phi}\sin\theta = -b\sin\theta\dot{\theta}$

当 $\theta$ 不等于 $0$ 或 $\pi$ （转轴不与 $x$ 轴平行）时，得到的约束是完整的。

最后编辑于：2020.03.31 12:36:02

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