概念
零概率问题：在计算事件的概率时，如果某个事件在观察样本库（训练集）中没有出现过，会导致该事件的概率结果是0。这是不合理的，不能因为一个事件没有观察到，就被认为该事件一定不可能发生（即该事件的概率为0）。
拉普拉斯平滑(Laplacian smoothing) 是为了解决零概率的问题。
法国数学家 拉普拉斯 最早提出用 加1 的方法，估计没有出现过的现象的概率。
理论假设：假定训练样本很大时，每个分量x的计数加1造成的估计概率变化可以忽略不计，但可以方便有效的避免零概率问题
具体公式
图片.png
总结：分子加一，分母加K，K代表类别数目。
应用场景举例
假设在文本分类中，有3个类：C1、C2、C3。
在指定的训练样本中，某个词语K1，在各个类中观测计数分别为0，990，10。
则对应K1的概率为0，0.99，0.01。
显然C1类中概率为0，不符合实际。
于是对这三个量使用拉普拉斯平滑的计算方法如下：
1/1003 = 0.001，991/1003=0.988，11/1003=0.011
在实际的使用中也经常使用加 λ（0≤λ≤1）来代替简单加1。如果对N个计数都加上λ，这时分母也要记得加上N*λ。
再来一个案例
一个男生的四个特征是长相不帅，性格不好，身高矮，不上进，我们最终得出的结论是女生不嫁！很多人说这是一道送分题，哈哈哈哈。我们可以用数学算法说明了不靠谱是取不到老婆滴！
那么我们来一个例子，假如此时另外一对情侣，这对情侣中，男生的四个特征是，长相帅，性格爆好，身高高，上进，那么他的女朋友嫁还是不嫁呢？可能又会有小伙伴说这是一道送分题，是不是，我们下面用事实说话！
下面通过例子来引出拉普拉斯平滑过程！
下面的训练数据：
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四个特征集合分别长相{帅，不帅}、性格{爆好，好，不好}、身高{高，中，矮}、上进与否{上进，不上进}
我们此时要求出该男生在四个特征分别是长相帅，性格爆好，身高高，上进的情况下，他对应的嫁与不嫁的概率谁大谁小，从而得出结论！
也就是要比较p(嫁|长相帅，性格爆好，身高高，上进)与p(不嫁|长相帅，性格爆好，身高高，上进)的概率大小。
按照朴素贝叶斯算法公式，我们可以得到如下公式：
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由于俩者的分母都是p(长相帅)、p(性格爆好)、p(身高高)、p（上进）,那么我们可以不算分母，比较的时候只比较俩个公式分子大小即可。
好的，下面我们开始计算，先计算在四个特征的条件下，嫁的概率。
我们需要分别计算p（性格爆好|嫁）、p(长相帅|嫁)、p(身高高|嫁)、p(上进|嫁)
首先我们来算p(性格爆好|嫁)=？我们观察训练数据，发现如下：
image
居然没有一个数据有爆好这个特点的，那么p（性格爆好|嫁） = 0，那么我们可以看出问题了，根据公式：
image
我们最后的p(嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进)由于一项p（性格爆好|嫁）为0，而造成整个概率为0，这显然是错误的。
而这个错误的造成是由于训练量不足，会令分类器质量大大降低。为了解决这个问题，我们引入Laplace校准（这就引出了我们的拉普拉斯平滑），它的思想非常简单，就是对每个类别下所有划分的计数加1，这样如果训练样本集数量充分大时，并不会对结果产生影响，并且解决了上述频率为0的尴尬局面。
引入拉普拉斯平滑的公式如下：
image
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其中ajl，代表第j个特征的第l个选择，
代表第j个特征的个数，K代表种类的个数。
λ为1，这也很好理解，加入拉普拉斯平滑之后，避免了出现概率为0的情况，又保证了每个值都在0到1的范围内，又保证了最终和为1的概率性质！
我们可以通过下面例子更加深刻的理解这个公式：（现在我们是加入拉普拉斯平滑）
加入拉普拉斯平滑后
我们先需要分别计算p（性格爆好|嫁）、p(长相帅|嫁)、p(身高高|嫁)、p(上进|嫁)，p(嫁)
p(性格爆好|嫁)=？统计满足要求的如下面红色部分
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没有一个满足是性格爆好的条件，但是此时概率不为0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
性格特征的个数为爆好，好，不好，三种情况，那么 为3，则最终概率为1/9 （嫁的个数为6+特征个数为3）
p(长相帅|嫁)=？统计满足条件的如下面红色部分：
image
由上图可知满足要求的为3个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
长相特征的个数为帅，不帅，俩种情况，那么 为2，则最终概率p(长相帅|嫁)为4/8 （嫁的个数为6+特征个数为2）
p（身高高|嫁） = ？统计满足条件的如下面红色部分：
image
由上图可知满足要求的为3个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
身高特征的个数为高，中，矮情况，那么 为3，则最终概率p(身高高|嫁)为4/9 （嫁的个数为6+特征个数为3）
p（上进|嫁)=？统计满足要求的如下面红色部分：
image
由上图可知满足要求的为5个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
上进特征的个数为上进，不上进情况，那么 为2，则最终概率p(上进|嫁)为6/8 （嫁的个数为6+特征个数为2）
p(嫁) = ？满足要求的如下红色标注：
image
由上图可知满足要求的为6个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
种类的个数为嫁，不嫁情况，那么K为2，则最终概率p(嫁)为7/14 = 1/2 （嫁的个数为6+种类个数为2）
到这里为止，我们已经算出了在该男生条件下，嫁的概率为：
p(嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进) = 1/9*4/8*4/9*6/8*1/2
下面我们需要算出p(不嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进)的概率，然后与上面的数值进行比较即可，算法与上面完全一模一样！这里也走一遍。
我们需要估计出p(长相帅|不嫁)、p(性格爆好|不嫁)、p(身高高|不嫁)、p（上进|不嫁），p（不嫁）的概率分别为多少。
p（长相帅|不嫁）=？满足要求如下面红色标注：
image
由上图可知满足要求的为5个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
长相帅特征的个数为不帅，帅情况，那么 为2，则最终概率p(长相不帅|不嫁)为6/8 （不嫁的个数为6+特征个数为2）
p（性格爆好|不嫁）=？满足要求如下面红色标注：
image
没有一个满足是性格爆好的条件，但是此时概率不为0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
性格特征的个数为爆好，好，不好，三种情况，那么 为3，则最终概率p（性格爆好|不嫁）为1/9 （不嫁的个数为6+特征个数为3）
p（身高高|不嫁）=？满足要求如下面红色标注：
image
没有一个满足是身高高的条件，但是此时概率不为0，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
身高特征的个数为高，中，矮，三种情况，那么 为3，则最终概率p(身高高|不嫁)为1/9 （不嫁的个数为6+特征个数为3）
p（上进|不嫁）=？满足要求如下面红色标注：
image
由上图可知满足要求的为3个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
上进特征的个数为上进，不上进情况，那么 为2，则最终概率p(上进|不嫁)为4/8 （不嫁的个数为6+特征个数为2）
p（不嫁）=？满足要求的如红色标注：
image
由上图可知满足要求的为6个，按照加入拉普拉斯平滑后的公式：
种类的个数为嫁，不嫁情况，那么K为2，则最终概率p(不嫁)为7/14 = 1/2 （不嫁的个数为6+种类个数为2）
到这里为止，我们已经算出了在该男生条件下，不嫁的概率为：
p(不嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进) = 5/8*1/9*1/9*3/8*1/2
结论
于是我们可以得到
p(嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进) = 1/94/84/96/81/2 > p(不嫁|长相帅、性格爆好、身高高、上进) = 6/8*1/9*1/9*4/8*1/2
于是我们可以大胆的告诉女生，这样的好男人，贝叶斯告诉你了，该嫁！！！
这就是我们使用拉普拉斯平滑后计算的整个算法过程！
python代码
from numpy import *
class NaiveBayesClassifier(object):
def __init__(self):
self.dataMat = list()
self.labelMat = list()
self.pLabel1 = 0
self.p0Vec = list()
self.p1Vec = list()
def loadDataSet(self,filename):
fr = open(filename)
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
dataLine = list()
for i in lineArr:
dataLine.append(float(i))
label = dataLine.pop() # pop the last column referring to label
self.dataMat.append(dataLine)
self.labelMat.append(int(label))
def train(self):
dataNum = len(self.dataMat)
featureNum = len(self.dataMat[0])
self.pLabel1 = sum(self.labelMat)/float(dataNum)
p0Num = zeros(featureNum)
p1Num = zeros(featureNum)
p0Denom = 1.0
p1Denom = 1.0
for i in range(dataNum):
if self.labelMat[i] == 1:
p1Num += self.dataMat[i]
p1Denom += sum(self.dataMat[i])
else:
p0Num += self.dataMat[i]
p0Denom += sum(self.dataMat[i])
self.p0Vec = p0Num/p0Denom
self.p1Vec = p1Num/p1Denom
def classify(self, data):
p1 = reduce(lambda x, y: x * y, data * self.p1Vec) * self.pLabel1
p0 = reduce(lambda x, y: x * y, data * self.p0Vec) * (1.0 - self.pLabel1)
if p1 > p0:
return 1
else:
return 0
def test(self):
self.loadDataSet('testNB.txt')
self.train()
print(self.classify([1, 2]))
if __name__ == '__main__':
NB = NaiveBayesClassifier()
NB.test()
生活很好，等你超越
