度量空间的定义
度量空间（metric space）又称距离空间，是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定。
定义 1.1.1 设 
是一个非空集。 叫作度量空间，是指在 上定义了一个双变量的实值函数 )
，满足下列三个条件：
-
%20%5Cgeq%200)
，而且 %20%3D%200)
，当且仅当 
；
-
%20%3D%20%5Crho(y%2C%20x))
；
-
%20%5Cleq%20%5Crho(x%2C%20y)%20%2B%20%5Crho(y%2C%20z)%20%5Cquad%20(%5Cforall%20x%2C%20y%2C%20z%20%5Cin%20%5Cmathscr%7BX%7D))
。
这里 
叫作 上的一个距离，以 为度量的度量空间 记作 )
。
其中 这个符号是花体的
。
区间![[a,b]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ba%2Cb%5D)
上连续函数空间上定义的度量。
我们把区间 ![[a, b]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ba%2C%20b%5D)
上的连续函数全体记为 ![C[a, b]](https://math.jianshu.com/math?formula=C%5Ba%2C%20b%5D)
，按距离
%20%5Ctriangleq%20%5Cmax_%7Ba%20%5Cleq%20t%20%5Cleq%20b%7D%20%7Cx(t)%20-%20y(t)%7C)
形成度量空间 ![(C[a, b], \rho)](https://math.jianshu.com/math?formula=(C%5Ba%2C%20b%5D%2C%20%5Crho))
，简记作 。以后当说到连续函数空间 时，我们始终用 上面表达式式规定的 作为其上的距离，除非另外说明。
引进距离的目的是刻画收敛。
收敛点列
度量空间 上的点列 
叫作收敛到 
是指：%20%5Cto%200%20(n%20%5Cto%20%5Cinfty))
。这时记作 
，或简单地记作 
。
注：如果在 中点列 收敛到 是指：%5C%7D)
一致收敛到 )
。
度量空间的完备性
度量空间中的闭集：度量空间 中的一个子集 
称为闭集，是指：
，若 ，则 
。
基本列与完备度量空间：度量空间 上的点列 叫作基本列，是指：%20%5Cto%200%20(n%2C%20m%20%5Cto%20%5Cinfty))
。这也就是说：)
，使得 %20%5CRightarrow%20%5Crho(x_n%2C%20x_m)%20%3C%20%5Cvarepsilon)
。如果空间中所有基本列都是收敛列，那么就称该空间是完备的。
注释：有时候我们也把基本列成为柯西序列。
