泛函分析基础(一)：度量空间

度量空间的定义

度量空间（metric space）又称距离空间，是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定。

定义 1.1.1 设 $\mathscr{X}$ 是一个非空集。 $\mathscr{X}$ 叫作度量空间，是指在 $\mathscr{X}$ 上定义了一个双变量的实值函数 $\rho(x, y)$ ，满足下列三个条件：

$\rho(x, y) \geq 0$ ，而且 $\rho(x, y) = 0$ ，当且仅当 $x = y$ ；
$\rho(x, y) = \rho(y, x)$ ；
$\rho(x, z) \leq \rho(x, y) + \rho(y, z) \quad (\forall x, y, z \in \mathscr{X})$ 。

这里 $\rho$ 叫作 $\mathscr{X}$ 上的一个距离，以 $\rho$ 为度量的度量空间 $\mathscr{X}$ 记作 $(\mathscr{X}, \rho)$ 。

其中 $\mathscr{X}$ 这个符号是花体的 $X$ 。

区间 $[a,b]$ 上连续函数空间上定义的度量。

我们把区间 $[a, b]$ 上的连续函数全体记为 $C[a, b]$ ，按距离
$\rho(x, y) \triangleq \max_{a \leq t \leq b} |x(t) - y(t)|$
形成度量空间 $(C[a, b], \rho)$ ，简记作 $C[a, b]$ 。以后当说到连续函数空间 $C[a, b]$ 时，我们始终用上面表达式式规定的 $\rho$ 作为其上的距离，除非另外说明。

引进距离的目的是刻画收敛。

收敛点列

度量空间 $(\mathscr{X}, \rho)$ 上的点列 $\{x_n\}$ 叫作收敛到 $x_0$ 是指： $\rho(x_n, x_0) \to 0 (n \to \infty)$ 。这时记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ ，或简单地记作 $x_n \to x_0$ 。

注：如果在 $C[a, b]$ 中点列 $\{x_n\}$ 收敛到 $x_0$ 是指： $\{x_n(t)\}$ 一致收敛到 $x_0(t)$ 。

度量空间的完备性

度量空间中的闭集：度量空间 $(\mathscr{X}, \rho)$ 中的一个子集 $E$ 称为闭集，是指： $\forall \{x_n\} \subset E$ ，若 $x_n \to x_0$ ，则 $x_0 \in E$ 。

基本列与完备度量空间：度量空间 $(\mathscr{X}, \rho)$ 上的点列 $\{x_n\}$ 叫作基本列，是指： $\rho(x_n, x_m) \to 0 (n, m \to \infty)$ 。这也就是说： $\forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon)$ ，使得 $m, n \geq N(\varepsilon) \Rightarrow \rho(x_n, x_m) < \varepsilon$ 。如果空间中所有基本列都是收敛列，那么就称该空间是完备的。

注释：有时候我们也把基本列成为柯西序列。

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