simth圆图

一、simth圆图：计算阻抗，反射系数等

1、在射频电路中，经常遇到阻抗计算问题：

Z_{in} =Z_{c}\frac{Z_{L}+Z_{c}j \tan \beta l }{Z_{c}+Z_{L}j \tan \beta l}


        今天，计算机计算已变得非常容易，精度远远高于作图法。但是，并不能说作图法就无用了，更不能说圆图就可以淘汰了，因为圆图不仅可以简化计算，更重要的是可以提供清晰的几何概念和物理意义。

2、阻抗的计算问题包括：

反射系数的模 \vert \Gamma \vert

反射系数的相位\phi =-2j\beta l

输入阻抗的实部（电阻）R_{in}

输入阻抗的虚部（电纳）X_{in}

       在以反射系数的实部和虚部构成的坐标系中，反射系数的模、输入阻抗的实部（电阻）和虚部（电纳）都构成圆，反射系数的相位构成射线。正是这些圆和射线构成了Smith圆图。

3、考虑无耗传输线

在 \Gamma 平面内（实部为横坐标，虚部为竖坐标）

\vert \Gamma(l) \vert=常数<=1是一簇单位圆内的圆

\phi =常数                     是一簇从原点发出的射线


       当从负载向电源方向行进时（-2j\beta l l变长），反射系数在平面上的轨迹是包含在单位圆内沿顺时针旋转的圆（负相角）。反之，当从电源向负载方向行进时l变短负向角变小，圆是逆时针旋转（正相角）。

角度\phi 逆时针旋转一周，对应于传输线段长度向负载方向变化了\lambda /2；

角度\phi 顺时针旋转一周，对应于传输线段长度向电源方向变化了\lambda /2


4、例题

已知\Gamma _{L} =0.7 ，求L=0.1875\lambda 处的\Gamma(l)

解：因为

位于图上A点。向电源方向等圆顺时转0.1875到B点，

2*0.1875*360=135° 于是\Gamma (d) =0.7e ^j135° 。

注意：

\phi 变 \pi ，l变化\frac{\lambda }{4} =0.25\lambda

要注意旋转方向

 对于\Gamma 圆， \frac{l}{\lambda } 的起始点任意，因为我们求的是两点间的电长度，与起始点无关。 但为了方便，规定取 \phi =0°时 ，\frac{l}{\lambda } =0.25；\phi =180°时\frac{l}{\lambda } =0

当传输线有耗（小损耗）时，反射系数的相位特性不变，模不再是圆。

例如， \Gamma _{L} 在A点，顺时等圆旋转到B，得到\phi (l) ，设\alpha l=0.1 ，于是到C点得\vert \Gamma (l) \vert 。

二、归一化阻抗圆

我们希望能在Γ平面上反映阻抗特性

设\Gamma =\Gamma _{r} +j\Gamma _{i}  有\tilde{Z} =\frac{Z_{in} }{Z_{c}} =r+jx归一化阻抗

由\Gamma =\frac{\tilde{Z}-1 }{\tilde{Z}+1 } 得到(\Gamma _{r} +j\Gamma _{i})(r+1+jx)=r-1+jx

于是\Gamma _{r}(r+1)-\Gamma _{i}x=r-1\Rightarrow r+1=\frac{\Gamma _{i}x-2}{\Gamma _{r} -1}

\Gamma _{r}x +\Gamma _{i}(r+1)=x\Rightarrow x=\frac{\Gamma _{i}}{1-\Gamma _{r} }(r+1)

电阻圆（归一化阻抗实部）
电抗圆（在反射系数为1的圆内）

将\vert \Gamma \vert 圆、\phi 射线、r圆、x圆在Γ平面汇集，便构成Smith阻抗圆图。

Smith阻抗圆图

Smith阻抗圆图的特点：

上半圆内的阻抗为感抗：X L > 0；下半圆内的阻抗为容抗：XL < 0；

实轴上的阻抗为纯电阻；

左边实轴上的点代表电压最小点Z=R_{min} =\frac{Z _{c} }{\rho } ：

右边实轴上的点代表电压最大点：Z=R_{max } =\frac{Z _{c} }{\rho }

实轴左边端点为阻抗短路点：Z=0

实轴右边端点为阻抗开路点：Z\rightarrow 无穷

圆图中心点为阻抗匹配点 ：Z=Z_{c}

整个圆电长度以 0.5\lambda 为周期，所谓 \frac{\lambda }{2} 阻抗重复性。

1. 用阻抗圆图由导纳求导纳


所以只要作下面代替：

                                              r\rightarrow g ; x\rightarrow b ;\Gamma \rightarrow -\Gamma

就可以直接用Smith阻抗圆图计算导纳。

但要注意，同时要做下列变换：

开路点和短路点互换;上半圆为容抗;下半圆为感抗;电压最大点与最小点互换;平面坐标轴反向。

2、 用阻抗圆图从阻抗求导纳或由导纳求阻抗

可见，如果在阻抗圆图上已知某个归一化阻抗点，则沿着反射系数圆旋转180° 后的对应点就是与之对应的归一化导纳值，所谓\frac{\lambda }{4} 阻抗倒置性。

3. 导纳圆图

把整个阻抗圆图旋转180° ，就得到了导纳圆图，但这时图上的特征点不变， \Gamma 平面坐标轴不变。


三、 圆图应用
Smith圆图常应用于下列问题的计算：

由负载阻抗求线上的驻波比或反射系数和输入阻抗。

由负载阻抗求电压波腹点及波节点位置。

由驻波比和第一个波腹点或波节点的位置求负载阻抗。

 阻抗与导纳的互换。

已知传输线的特性阻抗 Zc=50Ω ,负载阻抗 ZL=50+j50Ω。求离负载 l=0.25λ 处的输入阻抗和驻波比

解:

求归一化阻抗 \tilde{Z_{L} } =\frac{Z_{L} }{Z_{c}} =1+j圆图上对应a点，

其对应的电长度\tilde{l} =0.162


116/360*0.5=0.162

a点沿等\Gamma 圆顺时针方向转\tilde{l} =0.25至b点，对应的电长度\tilde{l} =0.412

读取b点的坐标为0.5-j0.5，故所求的输入阻抗为

过b点的等Γ圆与正实轴相交点的标度为2.6，故ρ = 2.6


例三、已知传输线的特性阻抗 ZC=50Ω ,负载阻抗ZL=50+j50Ω求电压驻波最大点、最小点的位置及反射系数


例三、已知传输线的特性阻抗为Z_{c} =50Ω,当终端接入Z_{L} 时测得线上的驻波比ρ=2，当线的末端短路时，电压最小点往负载方向移动了0.15λ。

解：由题意可知，当终端短路时，终端就是电压最小点，因此，当终端接负载时，电压最小点距离负载0.15λ。电压最小点位于圆图的左半实轴。

已知传输线的特性阻抗为ZC=50Ω,当终端接入ZL时测得线上的驻波比ρ=2，当线的末端短路时，电压最小点往负载方向移动了0.15λ。

解：由题意可知，当终端短路时，终端就是电压最小点，因此，当终端接负载时，电压最小点距离负载0.15λ。电压最小点位于圆图的左半实轴。

画ρ=2的等反射系数圆从左半实轴oB端（电压最小点)逆时针方向移动(向负载方向） 至oa段。oa线段与ρ=2的等反射系数圆相较于b点，读取b的坐标\tilde{Z_{L} } =1-j0.65 ，故负载为

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