数学发生学倡导的认知过程是：从浪漫模糊的整体到局部的精确，再从局部的精确到新的，综合性的整体。
这章要和儿童一起玩的是《20以内的退位减法》。但儿童关于数字20和减法的认识，并不是彼此孤立地存在于脑海中，而是作为一个整体被儿童模糊地感知着！之所以说模糊，是因为儿童还处在知其然但不知其所以然的状态。
面对数字20，会读，会写，但为什么要这样写，儿童还不能很明白地说清楚，这和他们脑海中的十进制位值制观念尚不成熟有关系；
会计算20以内的退位加法，甚至有的儿童还会挑战20以内的退位减法，但计算的依据是什么，还有没有其他方法，儿童还不能灵活应对，十进制还仅仅是作为一个计算中的背景观念存在于他们脑海中，并在很长一段时间内都不能成为儿童的前景观念被儿童使用；
对于加减法运算儿童已经不再陌生，尤其对于系统内的孩子，不仅能够用集合的思想解释，还能在数轴上表示自己的运算过程，但加数与和，被减数，减数，差之间的关系儿童还不曾关注过。
一年级的小牵牛们，就要在加法数字圆盘的制作过程中开始这个单元的学习了。
你可能会问：这个单元是要学习退位减法啊！为什么要做加法数字圆盘呢？
浪漫阶段教学的目的不在于精确聚焦核心观念，而是调动儿童脑海中已有的运算观念，对本单元的学习有一个整体的感知，为之后的精确聚焦做好准备。
在贞元数学课程中，从儿童第一次接触运算时，加减法就是同步建构的。儿童在动作游戏中已经理解了加减法运算之间的互逆性。
所以他们的进位加法数字圆盘中已经包含了退位减法运算。写出一组加法算式——7+8=15，8+7=15 儿童自然会想到对应的减法算式——15－7=8，15－8=7。
贞元数学的课程逻辑中非常看重的一点就是——从手到脑！
你可能会问：为什么数学的学习一定是一个从手到脑的过程呢？
数学之做以好玩一定是因为它的开放性和可创造性。如果将一套固定的计算程序交给儿童，他们的学习只能走入更加死板的僵化。对于一年级的小牵牛们来说，动手游戏的过程就是他们思维的过程，具体运算阶段的儿童还不可能在头脑中直接玩抽象的数学思维游戏。
13根小棒，要从中拿走6根，你会怎么拿？
当你将这样具象的可操作的问题抛给儿童的时候，他们的第一反应就是动手做做看，将自己的动作过程用算式记录下来，就是退位减法13－6的解决过程啦！
孩子们最先想到的就是先拿走3根散的小棒，再将这一捆小棒打开，拿走剩下的三根小棒。
当然我们还可以从一捆小棒中先拿走6根，然后将剩下的4根与3根散着的小棒合并。
经过讨论我们还可以先拿走10根，然后再将多拿的4根还回来。
这么多种方法都与儿童的动手操作紧密联系的，最重要的是在他们以后遇到一个退位减法问题时，脑海中不会一直逼问自己，正确答案是什么。而是会回想起自己的动作经验，并在之前动作经验的基础上进行反省抽象出一种属于自己的运算逻辑——将复杂的问题转化成较为简单的问题。
如果要在计数器上解决12－8，又该怎么操作呢？
小牵牛们拿起自己的计数器，先在个位上拨出2颗珠子，再在十位上拨出1颗珠子，将12这个数字表示出来，减8，就是再拿走8颗珠子，嗯……怎么拿呢？我们来看看其中一个小牵牛的想法吧！
我们看中每个孩子的语言表达过程，动作的操作过程一定要配合文字语言的描述，可能刚开始还不够流畅，也不够简洁，正是如此，老师才会发现儿童的认知充足到底在哪里，才会在之后的教学中有目地展开教学。
小棒的直观操作，计数器的灵活应用之后我们就要到更加抽象的数轴上来表示退位减法的解决过程了。但是对于今年新加入的两个小牵牛来说，这确实一个异常陌生的名词。没关系，疫情期，我们就通过视频先沟通起来。
慢慢地孩子们的数轴初步成型。
相信用不了多久，新加入的小牵牛也能像烨和蔓一样将数轴看成是我们解决问题的工具。
数的基数性质和序数性质也会在孩子心中慢慢生根发芽。
至此，任意一个退位减法问题，小牵牛们已经能用多种方式进行解决，最重要的是能够说得清楚为什么要这么计算，退位减法不是机械的重复训练，而是灵活多变的小精灵，穿梭在儿童的生命世界中。
在综合部分，我们会去沟通运算与运算之间的关系，也是小牵牛们最喜欢的大创造时刻。他们会调动自己脑海中已有的运算观念做出不断生长的数字树，好玩的减法数字圆盘。
当我们在动作操作中去关注减法算式 11－5 的时候，好玩的游戏就正式开始了。
从11根小棒中，只能拿走5根吗？小牵牛们把自己面前的小棒摆弄一番，立马会说还可以继续拿走更多的小棒，6根，7根，8根，9根……15根，全部拿完啦！在孩子们刚刚停手的时候，老师追问一句：你们的小棒数量越拿越多，那么剩下的小棒数量呢？——当然是越来越少了！就这样被减数不变，减数不断增大，差变小，这样的抽象数理逻辑就在孩子们的操作中被发现了。但我们不会让孩子们将这句话记在本子上，而是会将其变成以一种神秘力量，注入一颗种子中，让它生根发芽，长大！
当然我们还可以越拿越少！孩子们操作的乐不可支，很快他们就会发现剩下的小棒数量就会越来越多。这当然算得上是一个重大发现啦！种子又可以长出新的枝干啦！
如果小棒的数量11在不断的增加呢？拿走的数量还是5根，剩下的小棒数量会怎么变化呢？如果小棒的数量在不断的减少，拿走的小棒数量仍然是5根，剩下的小棒数量又会怎么变化呢？
最后，我们还想通过拿走的动作想到了合并的动作，加减互逆也成了数字树的一个小小分枝。
操作中的变化越多，小牵牛们的种子就长得越茂盛，孩子们会将写得弯弯扭扭的“枝干”称做是枯萎的树枝，哈哈，如果我们的种子是一颗吊兰的种子补救可以了吗？数学课堂的快乐就来自于儿童最最美好的纯真。
于是我们决定玩一个分糖游戏：有15块糖，每次拿走2颗，这样一直拿下去最后会剩几颗糖呢？如果是拿3颗糖呢？4颗呢？孩子们做出了各种猜想，慢慢地他们发现好像不用猜想了，用减法就能解决这个问题。
小牵牛们学着画烟花图的方法，画出自己的游戏过程。
有一个小牵牛的作品和别人的都不一样——
当我们在课堂上反馈的时候，其他小牵牛们立刻说道：这不就是数字圆盘嘛！哈哈，新加入的轩还没有听过数字圆盘是什么，自己竟然无意中做出了一个数字圆盘。
既然提到了数字圆盘，那还等什么，我们就来做减法的数字圆盘吧！数字圆盘的中心可以选择数字11——15之间的任意数字。
烨说：我要选择一个最难的——15.数字15的数字圆盘真的是最难的吗？
我们又展开了激烈的讨论，孩子们拿起自己的计数器，和老师一起开启了摄像头，我们在拨计数器的时候，发现，在数字11——15之间，原来数字11才是最难的一个，因为数字2——9与它发生减法运算时，发生的退位计算次数最多。哈哈，20以内的数字19在与一位数进行减法计算时，竟然是最简单的！
这时，有人说：老师我觉得10才是最难的。你看，数字10与1——9进行减法计算，都是需要退位的。
哈哈，如果从退位的角度来看，10确实算得上是“最难的”。但是10以内的加减法计算我们早都掌握了，还是用数字11——15吧。刚下课不久，我就收到了数字11的减法数字盘。
我们刚刚加入不到一周的新新小牵牛也发来了自己的作品！我的欣喜之情溢于言表。
我不知道作品中左上角的符号表示的是什么意思，可能就是一颗正在发芽长大的种子吧！
经过这个单元的学习，儿童脑海中的20以内数的学习将结束，之后儿童将会接触100以内的数的认识，万以内数的认识……他们脑海中的十进制和位值制观念也会随着发展并不断壮大，头脑中的运算观念也会逐步强大，并会在以日以年的游戏中建立起属于自己的数感。
春已到，什么都不能阻挡，种子想要发芽的愿望。
