数学分析理论基础6：收敛数列的性质

收敛数列的性质

唯一性

定理：若数列 $\{a_n\}$ 收敛,则它只有一个极限

证明：

$设a是\{a_n\}的一个极限$

$下证\forall b\neq a,b不是\{a_n\}的极限$

$取\varepsilon_0={1\over 2}|b-a|$

$在U(a;\varepsilon_0)之外至多只有\{a_n\}中有限项$

$\therefore 在U(b;\varepsilon_0)内至多只有\{a_n\}中有限项$

$\therefore b不是\{a_n\}的极限$

$即证收敛数列只能有一个极限\qquad\mathcal{Q.E.D}$

有界性

定理：若数列 $\{a_n\}$ 收敛,则 $\{a_n\}$ 为有界数列,即 $\exists M\gt 0$ ,使 $\forall n\in Z_+$ 有 $|a_n|\le M$

证明：

$设\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$

$取\varepsilon=1,\exists N\in Z_+,\forall n\gt N有$

$|a_n-a|\lt 1$

$即a-1\lt a_n\lt a+1$

$记M=max\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|a-1|,|a+1|\}$

$\forall n\in Z_+有|a_n|\lt M\qquad\mathcal{Q.E.D}$

保号性

定理：若 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a\gt 0(或\lt 0)$ ,则 $\forall a'\in(0,a)(或a'\in (a,0))$ , $\exists N\gt 0$ ,使得当 $n\gt N$ 时有 $a_n\gt a'(或a_n\lt a')$

证明：

$不妨设a\gt 0$

$取\varepsilon=a-a'\gt 0,则$

$\exists N\gt 0,使得当n\gt N时$

$有a_n\gt a-\varepsilon=a'$

$结论得证$

$a\lt 0类似可证\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：应用保号性时常取 $a'={a\over 2}$

推论：设 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b,a\lt b$ ,则 $\exists N$ ,使得当 $n\gt N$ 时有 $a_n\lt b_n$

证明：

$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b,a\lt {a+b\over 2}\lt b$

$由保号性知$

$\exists N_1,当n\gt N_1时$

$有a_n\lt {a+b\over 2}$

$\exists N_2,当n\gt N_2时$

$有b_n\gt {a+b\over 2}$

$取N=max\{N_1,N_2\}$

$则当n\gt N时有a_n\lt b_n\qquad \mathcal{Q.E.D}$

保不等式性

定理：设 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 均为收敛数列,若 $\exists N_0\gt 0$ ,使得当 $n\gt N_0$ 时有 $a_n\le b_n$ ,则 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n\le \lim\limits_{n\to \infty}b_n$

证明：

$设\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists N_1,N_2\gt 0使得$

$当n\gt N_1时有a-\varepsilon\lt a_n$

$当n\gt N_2时有b_n\lt b+\varepsilon$

$取N=max\{N_0,N_1,N_2\}$

$则当n\gt N时有$

$a-\varepsilon\lt a_n\le b_n\lt b+\varepsilon$

$\therefore a\lt b+2\varepsilon$

$由\varepsilon的任意性可知$

$a\le b$

$即\lim\limits_{n\to \infty}a_n\le \lim\limits_{n\to \infty}b_n\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：设 $a_n\ge 0(n=1,2,\cdots)$ ,证明：若 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$ ,则 $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{a}$

证：

$由保不等式性可知a\ge 0$

$若a=0,则\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0,使得$

$当n\gt N时有a_n\lt \varepsilon^2$

$\therefore \sqrt{a_n}\lt \varepsilon$

$即|\sqrt{a_n}-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{a_n}=0$

$若a\gt 0,则$

$|\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|={|a_n-a|\over \sqrt{a_n}+\sqrt{a}}\le {|a_n-a|\over \sqrt{a}}$

$\because \lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0,使得$

$当n\gt N时有|a_n-a|\lt \sqrt{a}\varepsilon$

$\therefore |\sqrt{a_n}-\sqrt{a}|\lt \varepsilon\qquad\mathcal{Q.E.D}$

迫敛性

定理：设收敛数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 都以a为极限,数列 $\{c_n\}$ 满足： $\exists N_0\gt 0$ ,当 $n\gt N_0$ 时有 $a_n\le c_n\le b_n$ ,则数列 $\{c_n\}$ 收敛,且 $\lim\limits_{n\to \infty}c_n=a$

证明：

$\forall \varepsilon\gt 0$

$\because \lim\limits_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to \infty}b_n=a$

$\therefore \exists N_1,N_2\gt 0,使得$

$n\gt N_1时有a-\varepsilon\lt a_n$

$n\gt N_2时有b_n\lt a+\varepsilon$

$取N=max\{N_0,N_1,N_2\}$

$则当n\gt N时有$

$a-\varepsilon\lt a_n\le c_n\le b_n\lt a+\varepsilon$

$\therefore |c_n-a|\lt \varepsilon\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：求数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 的极限

解：

$记a_n=\sqrt[n]{n}=1+h_n(n\gt 1),其中h_n\gt 0$

$则n=(1+h_n)^n\gt {n(n-1)\over 2}h^2_n$

$\therefore 0\lt h_n\lt \sqrt{2\over n-1}(n\gt 1)$

$\therefore 1\le a_n=1+h_n\le 1+\sqrt{2\over n-1}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,取N=1+{2\over \varepsilon^2},则$

$n\gt N时有|1+\sqrt{2\over n-1}-1|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}(1+\sqrt{2\over n-1})=1$

$\therefore 由迫敛性可知$

$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1$

例：证明 $\lim\limits_{n\to \infty}{1\over \sqrt[n]{n!}}=0$

证：

$\forall \varepsilon\gt 0,要证|{1\over \sqrt[n]{n!}}-0|\lt \varepsilon$

$只需证{1\over \varepsilon^n n!}\lt 1$

$\because \lim\limits_{n\to \infty}{1\over \varepsilon^n n!}=0$

$\therefore 由极限的保号性可知$

$\exists N,当n\gt N时有{1\over \varepsilon^n n!}\lt 1$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}{1\over \sqrt[n]{n!}}=0$

四则运算法则

定理：

若 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 为收敛数列,则 $\{a_n+b_n\}$ , $\{a_n-b_n\}$ , $\{a_nb_n\}$ 都是收敛数列,且有

$\lim\limits_{n\to \infty}(a_n\pm b_n)=\lim\limits_{n\to \infty}a_n\pm \lim\limits_{n\to \infty}b_n$

$\lim\limits_{n\to \infty}(a_nb_n)=\lim\limits_{n\to \infty}a_n\lim\limits_{n\to \infty}b_n$

假设 $b_n\neq 0,\lim\limits_{n\to \infty}b_n\neq 0$ ,则 $\{{a_n\over b_n}\}$ 也是收敛数列,且有

$\lim\limits_{n\to \infty}{a_n\over b_n}=\lim\limits_{n\to \infty}a_n/\lim\limits_{n\to \infty}b_n$

证明：

$\because a_n-b_n=a_n+(-1)b_n,{a_n\over b_n}=a_n{1\over b_n}$

$\therefore 只需证明关于和、积与倒数运算$

$设\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b$

$则\forall \varepsilon\gt 0,\exists N_1,N_2\gt 0$

$n\gt N_1时,|a_n-a|\lt \varepsilon$

$n\gt N_2时,|b_n-b|\lt \varepsilon$

$取N=max\{N_1,N_2\}$

$则当n\gt N时$

$|(a_n+b_n)-(a+b)|\le |a_n-a|+|b_n-b|\lt 2\varepsilon$

$\Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty}(a_n+b_n)=a+b$

$|a_nb_n-ab|=|(a_n-a)b_n+a(b_n-b)|\le |a_n-a||b_n|+|a||b_n-b|$

$由收敛数列的有界性可知$

$\exists M\gt 0,\forall n有|b_n|\lt M$

$\therefore n\gt N时|a_nb_n-ab|\lt (M+|a|)\varepsilon$

$由\varepsilon的任意性可知\lim\limits_{n\to \infty}a_nb_n=ab$

$\because \lim\limits_{n\to \infty}b_n=b\neq 0$

$由收敛数列的保号性可知$

$\exists N_3\gt 0,当n\gt N_3时$

$|b_n|\gt {1\over 2}|b|$

$取N'=max\{N_2,N_3\}$

$则n\gt N'时有$

$|{1\over b_n}-{1\over b}|={|b_n-b|\over |b_nb|}$

$\lt {2|b_n-b|\over b^2}\lt {2\varepsilon\over b^2}$

$由\varepsilon的任意性可知\lim\limits_{n\to \infty}{1\over b_n}={1\over b}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：求 $\lim\limits_{n\to \infty}{a_mn^m+a_{m-1}n^{m-1}+\cdots+a_1n+a_0\over b_kn^k+b_{k-1}n^{k-1}+\cdots+b_1n+b_0}$ ,其中 $m\le k,a_m\neq 0,b_k\neq 0$

解：

$分子分母同乘n^{-k},所求极限化为$

$\lim\limits_{n\to \infty}{a_mn^{m-k}+a_{m-1}n^{m-1-k}+\cdots+a_1n^{1-k}+a_0n^{-k}\over b_k+b_{-1}n^{k-1}+\cdots+b_1n^{1-k}+b_0n^{-k}}$

$m=k时,所求极限等于{a_m\over b_m}$

$m\lt k时,所求极限等于0$

$综上所述,可得$

$\lim\limits_{n\to \infty}{a_mn^m+a_{m-1}n^{m-1}+\cdots+a_1n+a_0\over b_kn^k+b_{k-1}n^{k-1}+\cdots+b_1n+b_0}=\begin{cases}{a_m\over b_m}\qquad k=m\\ 0\qquad k\gt m\end{cases}$

子列

定义：设 $\{a_n\}$ 为数列, $\{n_k\}$ 为正整数集 $N_+$ 的无限子集,且 $n_1\lt n_2\lt \cdots\lt n_k\lt \cdots$ ,则数列 $a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_k},\cdots$ 称为数列 $\{a_n\}$ 的一个子列,记作 $\{a_{n_k}\}$

注：

1. $\{a_{n_k}\}$ 中的第k项是 $\{a_n\}$ 中的第 $n_k$ 项,故总有 $n_k\gt k$

2. $\{n_k\}$ 本身也是正整数列{n}的子列

3. $\{a_n\}$ 本身也是 $\{a_n\}$ 的一个子列,此时 $n_k=k,k=1,2,\cdots$

定理：数列 $\{a_n\}$ 收敛 $\Leftrightarrow$$\{a_n\}$ 的任何子列都收敛

证明：

$充分性$

$\because \{a_n\}也是自身的一个子列$

$\therefore 结论显然成立$

$必要性$

$设\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\{a_{n_k}\}是\{a_n\}的任一子列$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0,当k\gt N时有$

$|a_k-a|\lt \varepsilon$

$\because n_k\ge k$

$\therefore 当n\gt N时有$

$|a_{n_k}-a|\lt \varepsilon$

$即\{a_{n_k}\}收敛,且与\{a_n\}有相同的极限\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：上述定理是判断数列发散的有力工具

例：数列 $\{sin{n\pi\over 2}\}$ 的奇子列 $\{sin{2k-1\over 2}\pi\}=\{(-1)^{k-1}\}$ 发散,故数列 $\{sin{n\pi\over 2}\}$ 发散

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唯一性

有界性

保号性

保不等式性

迫敛性

四则运算法则

子列

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