——————与Definable Galois Theory有关？？————————
《我们的宇宙并不是由纯数学构成的》评注
让我们考虑一个例子：Q[根号2]和Q[-根号2]是同构的。因为填入元素在Q上满足同一代数关系，他们在Q上的最小代数关系都是x²-2＝0，在Q上无法区分。但是在R上允许考虑序，就可以分辨正负根号2。我想说的是数学内部，也可以存在“代数无法告诉你等边三角形的边长是根号2还是负根号2”这种现象，正如“数学无法告诉你物体怎么运动”这一数学和物理的关系中发生的现象。
模型论中，包含某个特定元素的最小的可定义集很可能不是这个特定元素的单元集，换句话说存在“增根”是一种普遍现象。想分辨不同根哪个是增根，就需要引入更多结构，把这些根放在新结构下去检验。我想说数学解在实际问题中带来增根无非是这样一个现象，物理对于数学来说是有物质实现和现实意义的所谓“更多结构”。
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其实上述讨论有很大问题。我们并不能在R作为域时去说±根号2无法区分。x-根号2就行了！所以说代数数是一种模型论的特殊谈法，它要同时考虑两个模型。大模型中的元素，在小模型中去谈。这应当被模型论formalize一下。anyway。Galois理论差不多就是这一套。我突然想用模型论的语言重新表述Galois理论。域扩张被表述为模型扩张。
域M＜域N，那么作为模型它嵌入了N。此时可以谈论N中的一个元素x在M上是否可定义。
Def : 模型扩张（M＜N，域），x∈N在M上可定义，指的是：
存在一条含x的，在N上可谈论的一阶逻辑语句φ，使得{t∈M:φ(t)}={x}.
Remark: 最一般地，任取一个语句φ，只要φ(x)在N上成真，我们可以拿到{x}{t∈M:φ(t)}.
换句话说，φ(x)是在N上可以完全谈论的x的一个性质，那么这个性质定义出的集合一般比{x}大。x有一些小伙伴，和他在这条性质下不可分辨。
Def：(the set of all properties of x on M)
Def：Say x is a Galois Element on N/M, iff
Remark：在Galois理论中，Galois元素是某种最小多项式是一次的家伙们。首先域论语境下只能谈论多项式，Pro集合的结构变动很清楚。只要最小多项式不是一次，就必然带出一些不可分辨的家伙。再怎么取交也是没用。
换句话说，我即便用上了x的所有性质，也无法把x在M上characterize\specilize出来！！
好悲哀，你竭尽全力找出自己的特点，却发现自己是可被替代的。
Galois理论能不能也翻译过来？
Def ： the Galois Group of the Model Extension Gal(N/M) :=
就是保持M上语句的真值。不知道怎么说。
Galois Correspondence？
Galois群的子群对应模型扩张的中间扩张吗？？？？？
正规扩张？
可分扩张好像不太好说。。。
2024.12.2
00:40
12.2 17:58
雨拨弦:
for 超越扩张，你甚至无法在Q上找到e的一个性质，更别说构造。e在Q上是一个不可名状的克苏鲁。
雨拨弦:
Pro-Q（e）＝∅，则称e在Q上是超越的。
雨拨弦:
如果pro Q（e）不是∅，那么e在Q上是可以刻画的，虽然这种刻画不一定唯一定位了e这个元素。
雨拨弦:
进一步的，可以定义galois元素e，如果他在Q上的所有property恰好定义了这个元素
Aut(N/M) is a group!
