数学 | 泰勒级数

泰勒级数：只要一个函数无穷光滑，那么泰勒级数就存在，但是不一定收敛，而且即使收敛，也不一定收敛于原函数。

泰勒公式：就是会有余项，多用在极限计算和中值定理，应用的条件只要函数在待考察的区间上有n+1阶导数，就有

（拉格朗日余项），这个的成立与否不需要考虑自变量的取值问题

泰勒展开式：泰勒展开式的方向是从函数变成级数，而且要求级数必须收敛，并且必须收敛于被展开函数在对应点所取到的函数值。所以会有收敛域

泰勒级数定义

如果 $f(x)$ 在点 $x=x_0$

具有任意阶导数，则幂级数

称为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒级数。

若函数 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的某个闭区间 $[a, b]$ 上具有 $n$ 阶导数，且在开区间 $(a, b)$ 上具有 $(n+1)$ 阶导数，则对闭区间 $[a, b]$ 上任意一点 $x$ ，成立下式：

$R_n(x)$ 是泰勒公式的余项

这个会有收敛区间，这个就是其和泰勒公式的区别，比如 $ln(1+x)$

在其定义域内泰勒公式都成立，但是泰勒展开式却只有在 $(-1,1]$

内成立，这就是区别，可以说在收敛区间内两个是一致，但是不在收敛区间时就不一定了。泰勒级数可以说只是代表一种计算方式。

所以这三种是有很大区别的，别再傻傻分不清了