（虽然应该让函数项级数与常数项级数同一级别，但由于函数项级数主要提及的是幂级数和傅里叶级数，便直接将其提上来重点说明。只需要心里明白：幂级数与傅里叶级数属于函数项级数，而与函数项级数相对应的概念是常数项级数。）

函数项级数的概念：如果给定一个定义在区间 $I$ 上的函数列
$u_1(x),u_2(x),u_3(x),\cdots,u_n(x),\cdots,$
那么由这函数列构成的表达式
$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$
称为定义在区间 $I$ 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

PS：此外还有收敛点，收敛域，发散点，发散域，和函数，余项等概念请自行查阅。

3. 幂级数

3.1 幂级数及其收敛性

概念：各项都是常数乘幂函数的函数项级数，其形式为
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots +a_nx^n+ \cdots$
其中常数 $a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$ 叫做幂级数的系数。

幂级数的一般形式为 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ ，作代换 $t=x-x_0$ 即可化为上面的简要形式。

阿贝尔（Abel）定理：如果级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 当 $x=x_0(x_0 \neq 0)$ 时收敛，那么适合不等式 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$ 使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 当 $x=x_0$ 时发散，那么适合不等式 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$ 使这幂级数发散。

推论：如果幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 不是仅在 $x=0$ 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数 $R$ 存在，使当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛；当 $|x|>R$ 时，幂级数发散；当 $x=R与x=-R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散。

幂级数收敛半径的求法：如果 $\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$ ，其中 $a_n、a_{n+1}$ 是幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的相邻两项的系数，那么这幂级数的收敛半径
$R = \begin{cases} \frac{1}{\rho} & \rho \neq 0 \\ +\infty & \rho = 0 \\ 0 & \rho=+\infty \end{cases}$

实际上是根据比值审敛法推论出的，因此当幂级数缺项时，可以根据比值审敛法求收敛半径。

3.2 幂级数的运算

除了最基础的四则运算以外，还有一些积分、求导等运算（主要用来求和函数）。

幂级数的和函数的重要性质：

幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上连续。
幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积，并有逐项积分公式 $\int_0^x s(t)\mathrm dt=\int_0^x[\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nt^n]\mathrm dt = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \int_0^x a_nt^n \mathrm dt = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}(x \in I)$
逐项积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 内可导，且有逐项求导公式 $s’(x)=(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (a_nx^n)’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}(|x|<R)$
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

3.3 函数展开成幂级数

函数展开成幂级数:如果一个幂级数在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 $f(x)$ ，那么我们就说函数 $f(x)$ 在该区间内能展开成幂级数。

函数展开成泰勒级数的充要条件：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一领域 $U(x_0)$ 内具有各阶导数，则f(x)在该领域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该领域内 $f(x)$ 的泰勒公式中的余项 $R_n(x)当n \to \infty$ 时的极限为零，即
$\lim\limits_{n \to \infty}R_n(x)=0,x \in U(x_0)$

把函数展开成幂级数（麦克劳林展开式）的一般步骤：

求出 $f(x)$ 的各阶导数
求出函数及其各阶导数在 $x=0$ 处的值
写出幂级数并求出收敛半径 $R$
考察余项 $R_n(x)$ 的极限是否为零

需要记住一些常见的函数的泰勒展开式，如:
$\begin{align*} e^x &= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n & (- \infty < x < + \infty) \\ sinx &= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} & (- \infty < x < + \infty) \\ \frac{1}{1+x} &= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n & (-1 < x < 1 ) \end{align*}$
以及 $ln(1+x)$ 、 $cos(x)$ 、 $a^x$ 、 $\frac{1}{1+x^2}$ 、 $\arctan x$ 等。