关于数学概念，总是在一定的思想下构造而成的，就像各种数学空间，就是在基与表示的思想下构造的，而基的概念又是从正交性，独立性的思想下得出的，可以表示这种性质的最小单位。这些思想，在泛函分析中发挥出了极大的威力。在复杂的函数现象中找出了一些规律。

这些思想可以说是更加本质的东西，尤其是独立性，非常重要，失去了这一法宝，几乎寸步难行。物理中，独立性反映为空间的独立性，变量的分离性，方程的可拆分性，即使是包含了相互作用项的系统，往往也是首先给出因素独立的基本模型，然后通过泰勒展开，逐次引入各高阶相互作用项，通过微扰理论对现有理论做出微小修改，得到一定精度下的合理结果。

对于具体的数学对象，很多就是这样的思想和具体的内容联系的结果，就像拓扑空间中的拓扑基，拓扑子基，再加上一些运算，就将拓扑中的所有开集表示完毕了，对于线性空间，通过空间的基，加上加法，标量乘运算，同样将其包含的对象都表示出来了，还有函数空间，通过基函数组，以及一些函数运算，同样实现了所有对象的表示。

那么，能不能更进一步，对理论及其结构实现这样的表示呢？显然对于举出的那些例子，已经证明是可行的了，但还有更多的理论是处于未知的状态。还有一些最根本问题，像什么代数和分析，代数和拓扑，微分和拓扑，这种极广义的概念的层次，他们是独立的吗？是具体领域的独立，还是基础上的独立呢?

这些问题是非常难回答的，即使局限于具体的对象上。

然后是另外的一种思想，单射和满射，作为函数的最基本的两种分类，一个代表了结构的嵌入，一个代表了结构的划分，单射将定义域对象一比一的放进了陪域对象中，根据映射的性质，将对应的运算结构也带了过去，附加群乘法，就将群结构带了过去，附加连续性，就将拓扑结构带了过去，什么都不附加，就只把集合结构带来过去。为了最大的抽象，还是使用单态和满态来称呼，所以单态，可以看作是对陪域对象的具体的限制，精细度很高，对对象中的每一个元素施加了限制。满态，就没有这么精细了，满态主要作用是一种划分，将陪域对象中的元素划分成许多个元素组合，一般称为等价类，把这样的元素类视为元素，将定义域对象的结构给带了过去，形成了精细度不高的结构的迁移，所以陪域对象中的元素可以具有比定义域对象更多的性质。

他们都是结构迁移的重要载体，并且一个着眼于局部，一个关注于整体，对一个未知的对象，给出几个相对于已知对象单态和满态，就可以给出他的很多性质了。对于同态的核和像，其实就反映了结构的精细度。核为元素类的边界，像则是结构发挥作用的边界。

在这种思想的指导下，很自然的有这样的疑问，结构是否可以表达一切，具体的物是抽象的结构与具体的对象的结合，那么将所有的具体的对象和所有的结构都揭示出来，他们的组合便是一切了。这种问题，没有多大意义，即使成立或者不成立，对现实也不会产生任何影响，而且无限制的推广，总是会体现为一种自指的悖论。不过，在具体实践上，这种思想是很有价值的，通过抽象的结构，将看似完全无关的领域联系起来，共同纳入一个新的框架之下，是很有现实意义的。

结合上一篇的问题，如何构造出逻辑清晰，内容精炼的理论逻辑结构，上面这种观点不失为一种构造方法，对于庞杂的理论知识，如能找到合适的满态，就可以给出某一规律的最小组分，也就是同态核，这个最小组分显然值得定义为一个概念，于是定理和概念的关系就可以抽象为概念所定义的同态核与定理描述给出的关于这个核的满态，这个一般是整体性的定理。更精细化的定理，则是在同态核内体现的，通过单态，将单态的像与这个同态核重叠，就可以给出更加具体的规律，就这样这个理论就变成了这样的层级结构，由整体不断细化，直到单个的元素。这样至少可以说，在已知的范围内，我们对这个结构有了充分的了解。

关于这种理论结构的最典型的例子，我认为就是数域的扩张过程，从自然数到复数，通过了各种的商运算构造而成。虽然对构造过程清楚了，但是，对于其所具有的性质而言还远远不够。只能说还有许许多多的结构还不为人所知，这种构造还远远没有结束。

不过，这种方法上的清楚，并不能减少实际使用中的困难，即便是最简单的可加性结构，与之结合的对象足够复杂的时候，比如特殊函数中的那些复杂函数，根本无法一眼看出，当这种运算从熟悉的加法乘法，变化为线性算子，如积分微分，甚至于非线性的时候，没有经过专门的训练也是无法找出这种规律的。因此，结构的简单绝不意味着理论形式的简单，其实，大家看看数学书籍，也会发现所涉及的结构不外乎基本代数结构，涉及了一些高级的结构其实就非常难理解了，所以，感觉在数学对象的表示形式上，还要在完备性和本质性上做出取舍。这方面就是所谓的硬功夫，从非常基础的表示上看到高级的简练表示形式。由此也可以看出，困难往往不在于同一层级的运算，而在于不同层级之间表达形式的转化。在这上面结构似乎就无能为力了，之所以说似乎，因为按通常的理解，结构不应该做那种事情，但是，那未尝不是一种新的运算结构呢，只是还无法得到有效的简化，也有可能是本质复杂。所谓本质复杂，就是说他的参数就是很多，而且彼此之间的依赖关系就是很复杂，不可能有更简短的表示了，比如超几何函数理论，每一个函数都含有四个参数，即使想要去缩短长度，也不过是表面现象，再比如说张量，他就是一个大数组，每一项都可以独立变化，强行记为一个符号，也不会改变他的本质。

本质复杂是处处存在的，不能说人看不懂，就可以认为不存在。能够做的事是主动适应它，而不是去否定它，就像n维空间，想象不出来，那就一维一维的考虑，将一个步骤分解为n个步骤。所以说独立性真的很重要，不然我们无法去分解它。那么是否存在这样的对象，它必须一步完成，不能分解，或者说它是不可理解的，这个就是不可知论，这个嘛，如果它内部有运动，那必然可分，如果它从不运动，永远保持其状态，那不就是世界的基础了吗，就像不可再分的原子一样。这种问题也是无法回答的，因为随着认识的进步，答案在不断变化，以前认为原子不可分，结果后来就可分了，然后认为基本粒子不可分，结果又提出了夸克，谁知道这个可分不可分呢？对这样的问题回答是还是否没有任何意义。还不如去提高认识水平，至少知道的更多了。

于是，结束了，总结一下，比具体知识更重要的基本思想，思想和对象结合就是理论，这些思想中呢，基与空间，单态和满态非常重要，一个关乎数学对象的表示，一个关乎结构的迁移。理论就可以视为依附于具体对象的结构的集合，他们往往呈现层级结构，每一层级上对基础结构有不同的解释，但不会很困难，而层级之间的互相转化非常困难，是数学训练的重点。于是，基于这种想法可以对理论进行一个基础的解剖。实践中则会遇见很多问题，尤其是数学表示的复杂性，导致结构被掩盖住，无法识别。而这种复杂有的是可消除的，有的则是不可消除的，是自然界复杂规律的体现，此时，就需要一些迂回的方法了。