极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。
极限符号：取极限：limn→∞1n=0
表示当n无限趋近于正无穷时。1/n趋近于0.
数列极限：
定义：数列是按照正整数顺序排列的无穷多个数：y1,y2,y3,...,yn,...
简记为{yn},其中数列第n项，yn为该数列的通项。
数列其实是一种特殊的函数：yn=f(n)而我们要研究的是，当 {yn}的项数n无限增大时，{yn}
的变化趋势
给定一个数列{yn}，如果当n无限增大时，其通项yn无限的趋近于某个常数A，则称数列{yn}以A为极限，记作:limn→∞yn=A或yn→A(n→∞)
当数列{yn}以A为极限时，称数列{yn}收敛于A，此时也称数列{yn}收敛于A，如果{yn}不收敛于任何常数，则称数列{yn}是发散数列。
例子：{yn}=1n
收敛于0，{yn}=nn+1
收敛于1. {yn}=(−1)n+1
没有极限，数列{yn}是发散的。
函数极限：对于函数的极限，根据自变量的变化过程可以分为两种情形：
自变量趋于无穷大的极限；
自变量趋于定点的极限；
（一）自变量趋于无穷大的极限：
x→+∞表示x沿着x轴正半轴趋于正无穷；
x→−∞表示x沿着x轴负半轴趋于负无穷；
x→∞ 表示x沿着x轴任意方向趋于无穷；
定义：设函数f(x)在区间[a,+∞)上有定义，A为常数，如果当x→+∞时，函数值 f(x)无限趋近于常数A，则称当x→+∞时，f(x)以A为极限。记作limx→+∞f(x)=A或f(x)→A(x→+∞)
设函数f(x)在区间(−∞,a]上有定义，A为常数，如果当x→−∞时，函数值 f(x)无限趋近于常数A，则称当x→−∞时，f(x)以A为极限。记作limx→−∞f(x)=A或f(x)→A(x→−∞)
设函数f(x)在区间|x|>a上有定义，A为常数，如果当x→∞时，函数值 f(x)无限趋近于常数A，则称当x→∞时，f(x)以A为极限。记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(x→∞);（应当注意，∞包含+∞和-∞两种情况讨论.如 limx→∞1x3=0）
由如上定义可知： limx→∞f(x)=A
存在的条件 为：limx→∞f(x)=limx→+∞f(x)=limx→−∞f(x)=A
（二）自变量趋于定点的极限：x→x+0
表示x从x0的左侧无限趋近于x0，此时x<x0
x→x−0
表示x从x0的右侧无限趋近于x0，此时x>x0
x→x0表示x从x0的左右两侧无限趋近于x0
注意： x是一个变化的量，是动点，x0是一个常数.
上述的三个变化过程中，x≠x0
例题：
1.讨论当x→1时，y = 3x-1的变化趋势:
解法很简单，由于是一个一次函数，可以直接得出，(3x−1)→2,x→1
2.讨论当x→1时，y=x2−1x−1的变化趋势：
解法：由于x→1可以得到 x−1→0,但x−1≠0,所以∵x+1≠0∴y=x2−1x−1=(x+1)(x−1)x−1=x+1
故 limx→1(x2−1x−1)=2
定义：设函数f(x)在x的邻域有定义(无所谓x是否有x=x0的定义)，A为常数，如果当x→x0,x≠x0时，函数值 f(x)无限趋近于常数A，则称当x→x0时，f(x)以A为极限。记作limx→x0f(x)=A或f(x)→A(x→x0)
左、右极限： A为常数，如果当x→x−0,x≠x0
时，函数值 f(x)无限趋近于常数A，则称当x→x0时，f(x)以A为左极限。记作limx→x−0f(x)=A或f(x)→A(x→x−0)
A为常数，如果当x→x+0,x≠x0
时，函数值 f(x)无限趋近于常数A，则称当x→x0时，f(x)以A为右极限。记作limx→x+0f(x)=A或f(x)→A(x→x+0)
定理：limx→x0f(x)=A
存在的必要条件是：limx→x0f(x)=limx→x+0f(x)=limx→x−0f(x)=A
