1.2 图形的对称群

写出正六边形的对称(性)群 $D_6$ 的所有元素， $D_6$ 的生成元是什么？生成元适合的关系有哪些？ $D_6$ 的阶是多少？

【解答】： $D_6$ 的阶数为 $12$ ，他有两个生成元，我们记作 $\sigma$ 和 $\tau$ .其中 $\sigma$ 表示绕正六边形的中心 $O$ 旋转 $\frac{\pi}{3}$ , $\tau$ 表示关于某一个对称轴的反射。
这些生成元满足 $\sigma^6 = \tau ^2 = e$ ，并且 $\tau \sigma t = \sigma^{-1}$

正五边形的对称(性)群 $D_5$ 中， $(\sigma\tau)(\sigma^2\tau)$ 是哪个元素？
【解答】根据上面我们知道 $\tau \sigma^2 \tau = (\sigma^2)^{-1} = \sigma^3$
因此 $(\sigma\tau)(\sigma^2\tau) = \sigma^4$
写出正四面体的旋转对称(性)群的所有元素。

【解答】：正四面体的旋转对称群，无非使得它的四个顶点 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 交换位置，所以总的情况一共有 $A_4^4 = 24$ 种，但是其中只有一半是可以变换获得的，另一半需要镜像才能获得。所以正四面体的旋转对称群中只有 $12$ 个元素。

他们分别是：单位元，绕一个顶点与对面中点连线旋转 $\frac{2\pi}{3}$ 或者 $\frac{4\pi}{3}$ ；这样的顶点-面组合有四种。绕一组对边的中点连线旋转 $\pi$ 这样的对边组合一共有 $3$ 种，共12个元素。

写出正方体的旋转对称(性)群的所有元素。
【解答】①恒等变换
②绕对面中心旋转 $\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}$ 。这样的对面一共有三组。共9个元素。
③绕主对角线旋转 $\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$ 。这样的对角线一共有4组，一共8个元素。
④绕一组对棱的中点旋转 $\pi$ ，这样的对棱有 $6$ 组。
综上，正方体的旋转对称群共有24个元素。

【注释】：平面正 $n$ 边形的对称群包括反射变换，是因为这个图形放在 $3$ 维空间中是可以沿着某一轴旋转 $\pi$ ，从而和自身重合的。
但是对于立体图形，不可能通过变换把它变成自己的镜像，因此在3.4题目=种四面体和正方形的旋转对称群中，我们不考虑关于某一个面对称，这样得到的是镜像的几何体，无法和之前的图形重合。

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1.2 图形的对称群

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