知识点
- 构建了函数与导数的关系，特例与推广之间的关系
- 注意极值的定义
- 若函数可导，则极值点→驻点
- 若函数不一定可导，则极值点与驻点无关系
- 只有导数为0的点和不可导点才是可能的极值点
- 第三充分条件可通过，皮亚诺余项泰勒公式和极值定义证明
- 凸凹性就是切线与弦的关系
- 二阶导数变号
- 二阶导为0且三阶导不为0，或者奇数阶导为0（类比极值点第三充分条件），或者二阶不可导的点
题型
- 偶函数
- 隐函数求二阶导时，注意一阶导在该点若为0，那么一阶导为系数的项，则不用完全求导，其他提前得了0的项也类似，具体见李正元例4.15及其后面的评注
- 举例法
- 注意本题是二阶连续导，所以二阶导为0，但是去心邻域内大于0
- 二阶导连续
- 经典错误，有二阶导，没说二阶导是否连续，只能用一次洛必达
- 利用保号性，分别讨论
,
的情况，确定
在邻域内的大小关系，根据极值定义即可得出结果
-
，可导-可导=可导，所以
三阶可导
- n为奇数，导数不为0是拐点，偶数不为0是极值点
- 注意
与
的关系，然后再通过
- 求极限的功夫要过关
- 斜渐近线另一种求法，把原函数改写成
，（
时，
），则
就是斜渐近线
- 用一步泰勒公式
- 注意
的无穷次方要分正负！！！
- 偶函数，对称美！所以渐近线也是对称的
-
的无穷次方也要注意正负！！！
- 罗尔定理推论，直接用
假设有
个零点，则反复使用罗尔定理可得出，
阶导数有一个0点，与条件矛盾
- 零点定理：①连续②异号
- 罗尔定理：要找个原函数（闭区间连续，开区间可导，端点值相等）
- 罗尔定理
- 对数比幂函数趋近0的速度快（见李正元例1.37）
-
区间
比
- 注意找好判定正负的点
罗尔定理推论
根据极值的定义，端点不可能是极值点！
- 罗尔定理推论
- 用反证法也可，假设还有个零点，则两个零点之间存在导数为0的点，与条件矛盾
- 用拉格朗日余项的泰勒公式证有一个点的值小于0（在题目给出信息最多的点展开）
- 拉格朗日中值定理
- 李正元例4.23
- 泰勒公式
- 拉格朗日
- 唯一极值点就是最值点
- 凹凸性，切线与割线的关系
- 凹凸性
罗尔定理
-
同号所以
不可能是0
分析法
微分方程法
- 可用拉格朗日或者罗尔定理
-
，令
- 利用积分中值定理再找个零点
- 第一步的分段构造函数方法类似李正元例4.34
-
，令
- 方法+规律
拉格朗日中值定理、柯西中值定理
- 注意第一问的结论
- 根据逆推法分析出分界点，且保证分界点是存在的
- 互不相同很重要！！！相同就变成简单题了
直接证第二问？
分析出分界点
泰勒中值定理
- 套个绝对值，取两个
中大的那个，放大一次，
- 提供信息一样多，就选有导数值的那个点
