g是R上的连续周期T的函数，f是R上的连续函数，证明关于f的方程 f(f(x))=-x^3+g(x)没有解。
看起来很难。
try1 看错条件以为f是周期的，则f有界，g也周期连续，也有界，而x^3无界，矛盾。伪证。
try2 对条件中令x=x+T，差分，差分的次数多了多项式部分就没了.
得ff(x+3T)-3ff(x+2T)+3ff(x+t)-ff(x)=以T为周期的函数
不知道有什么用。
try3 ffx差不多是x^3，f值域很大，必须是整个R.
try4 gx使得整个题目太混乱了，先令g(x)=0解解看呢。
ffx=-x^3，怎么解？
多么希望f是有渐进阶的，但不行，f万一是一上一下同时逼近正负无穷那种呢。
try5 构造函数g(x)=[0,x]上f(t)的最大值，试图控制f别往下振了，但是不知道有什么用。
不过讨论出gx单调连续，
try6 转换视角，考虑R上的连续函数在复合下构成幺半群，题目要解决的是-x^3不是平方元.
于是对抽象幺半群G，定义集合S_2=可开平方的元。S_k=可开k次方的元。
但是细想，这集合没任何结构。如果G交换，那么S_k都是子半群，倒是还行。但是在函数复合的意义下哪™有交换性。值得注意的是在有交换性的时候是子半群。
try7 试着考虑R上连续函数全体构成的半群的平方元，即集合S={g∈C(R)|存在f∈C(R),ffx=g}.这集合中有啥没啥啊？算一算，发现x∈S，sinsinx∈S，x²∈S，x^2n∈S，但是这个集合S上没发现什么结构，比如加法肯定不封闭。所以想想数乘？算了一下是
n偶数时，对任意a，ax^2n∈S
n奇数时，对b≥0，bx^2n∈S.
x^(2n+1)∈S？仍未可知。此题几乎就是n=1 case.
此时已经觉得，这个集合S的结构实为光怪陆离。
try8 令h=-x^3，g已经令为0了。题目就是ffx=hx了，我们注意到！h是连续函数半群中的可逆元。那么f呢？？？
立即搜索得到答案：一般的半群中，不可逆元的乘积可以是可逆的。我们不能通过半群的一般性质来断言f是不可逆或可逆。但现在我们的半群中的元素是一种具体形式——即，是函数半群，（写的时候突然想到，是不是或者是算子半群？。）h是双射，ff=h，那么f是不是双射？
感觉有戏。
设！若f不单！则存在f（x1）=f(x2),则ffx1=ffx2，则hx1=hx2，则h不单！而h=-x^3是单射，矛盾！所以f必为单射！！
又！！f是连续函数！！！连续+单射→单调！！！！！！！！！！妈的，好厉害啊我自己。
f单调，不知增减。但是！！！f增时，ff增，f减时，ff还增！！只要f单调，ff就单调增！！非常像x²≥0，只不过此时是单调性层面上的。但是ff=h=-x^3，严格单调减！！矛盾。
所以ff=-x^3无连续解。
至此try8，我们解决了toy情形。
rmk：以上推理中本质上用到了-x^3这个函数什么性质呢？换成哪些函数答案也是无解呢？
按照证明中用到的，我们总结为 1，值域为整个R的连续函数，2，是单射，3，严格递减
但是以上条件簇可以简化为：h是R→R的单调减的连续满射.
或者换换说法，h是R的单调减的自同胚。单调减显然可以理解成反定向，但是为了定义定向需要流形结构。这一下有点高级，假设该有的都有吧，提出猜想：h是可定向（微分）流形M上的反定向自同胚，f是M到自身的连续映射，则ff=h无解。
这样的h都使得ffx=hx无连续解。证明过程完全同上。
try9
toy model玩完了，我们还是要回到原题。
