高等代数理论基础77：A-矩阵应用

$\mathscr{A}$ -矩阵应用

哈密顿-凯莱定理：设数域P上n维线性空间V上线性变换 $\mathscr{A}$ 的特征多项式为 $f(\lambda)$ ,则 $f(\mathscr{A})=\mathscr{O}$

证明：

任取 $V$ 的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,设 $\mathscr{A}$ 在 $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 下的左矩阵为A,即

$(\mathscr{A}E-\mathscr{E}A)\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=O$

$|\lambda E-A|$ 是 $A$ 的,也是 $\mathscr{A}$ 的特征多项式

即 $|\lambda E-A|=f(\lambda)$

设 $\lambda E-A$ 的伴随矩阵为B

即 $B$ 也是 $\lambda$ -矩阵,记作 $B(\lambda)$

由行列式理论

$B(\lambda)(\lambda E-A)=|\lambda E-A|E=f(\lambda)E$

将 $\mathscr{A}$ 代入上式中的 $\lambda$ ,两端都作用在 $(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)'$ 上得

左端 $=B(\mathscr{A})(\mathscr{A}E-\mathscr{E}A)\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=O$

故右端 $=f(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(\mathscr{A})\varepsilon_1\\f(\mathscr{A})\varepsilon_2\\\vdots\\f(\mathscr{A})\varepsilon_n\end{pmatrix}=O$

即 $f(\mathscr{A})\varepsilon_i=0,i=1,2,\cdots,n$

故 $f(\mathscr{A})$ 是V上零变换

即有 $f(\mathscr{A})=O\qquad\mathcal{Q.E.D}$

引理：设 $T$ 为 $n\times n$ 数字方阵,又 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 满足

$(\mathscr{A}E-\mathscr{E}T)\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=O$

则对任意 $\lambda$ -矩阵 $R(\lambda)$ ,必有数字方阵 $R_l$

使得 $R(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=R_l\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

证明：

可设 $R(\lambda)=M_l(\lambda)(\lambda E-T)+R_l$

用 $\mathscr{A}$ 代替式中的 $\lambda$ ,则有

$R(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=M_l(\mathscr{A})(\mathscr{A}E-\mathscr{E}T)\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}+R_l\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

$=R_l\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理： $A_{n\times n}$ 与 $B_{n\times n}$ 相似的充要条件为 $\lambda E-A$ 与 $\lambda E-B$ 等价

证明：

必要性

设 $B=T^{-1}AT$

则 $\lambda E-B=\lambda E-T^{-1}AT=T^{-1}(\lambda E-A)T$

故 $\lambda E-A$ 与 $\lambda E-B$ 等价

充分性

由 $\lambda E-A$ 与 $\lambda E-B$ 等价

有可逆 $\lambda$ -矩阵 $P(\lambda)$ 及 $Q(\lambda)$ 使得

$P(\lambda)(\lambda E-A)Q(\lambda)=\lambda E-B$

取 $P$ 上 $n$ 维空间 $V$ 及一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$

作V上线性变换 $\mathscr{A}$ 使得

$(\mathscr{A}E-\mathscr{E}A)\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=O$

由假设

$P(\mathscr{A})(\mathscr{A}E-\mathscr{E}A)=(\mathscr{A}E-\mathscr{E}B)Q^{-1}(\mathscr{A})$

上式两边作用于 $(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)'$ ,则左侧为零

故右端 $=(\mathscr{A}E-\mathscr{E}B)\begin{bmatrix}Q^{-1}(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}\end{bmatrix}$

$=(\mathscr{A}E-\mathscr{E}B)\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=O$

其中 $\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=Q^{-1}(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

有数字矩阵 $V_0$ 使得

$\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=Q^{-1}(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=V_0\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

若 $V_0$ 是可逆数字矩阵

则 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是V的基

$\mathscr{A}\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}$

即 $B$ 是 $\mathscr{A}$ 在基 $\eta_1,\cdots,\eta_n$ 下的左矩阵

即 $A,B$ 是 $\mathscr{A}$ 在不同基下的左矩阵,故相似

下证 $V_0$ 可逆

对 $E=Q(\mathscr{A})Q^{-1}(\mathscr{A})$

两边作用于 $(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)'$

则 $\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=Q(\mathscr{A})\begin{bmatrix}Q^{-1}(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}\end{bmatrix}$

$=Q(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}$

由于 $(\mathscr{A}E-\mathscr{E}B)\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=O$

故有数字矩阵 $U_0$ 使得

$Q(\mathscr{A})\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=U_0\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}$

故 $\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}=U_0V_0\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

因 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是基

故 $U_0V_0=E$

即证得 $V_0$ 是可逆矩阵 $\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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