续前文

1.6.5Maxwell-Bloch方程

        在半经典理论中，用Maxwell方程描述光场，用光学Bloch方程描述系统，称为Maxwell-Bloch方程组，简称M-B方程。

        对于一个二能级系统原子与光场作用，光场与原子的相互作用哈密顿量为：

其中p为电子偶极矩。

则总哈密顿量为：

薛定谔方程为：

本征方程为：

将波函数按ϕa、ϕb展开，即：

将此式代入薛定谔方程后两边左乘ϕa，对r积分，由于ϕa、ϕb正交归一，可求出、：

Vaa=Vbb=0，这是因为强相互作用中宇称守恒。

原子的电偶极矩为：

将波函数代入，可得：

此式表明了原子的电偶极矩有正频和负频两部分组成，即：

观察a(t)、a*(t)显然有：

将a(t)对时间求一阶导数：

将ca、cb代入，并利用矩阵元的特性，可得：

考虑原子电偶极矩衰减，即横向弛豫过程则有：

将d对时间求导：

再将ca、cb代入，可得：

再考虑反转粒子数衰减，即纵向弛豫过程，唯象的引入纵向弛豫速率：

        因为系统涉及到大量原子，因此将第n个原子的a和d加下标，并把E(t)看为是第n个原子的位置函数，把a和d的方程修正，并与Maxwell方程写在一起，则得到：

此即为M-B方程，其有着生动的物理意义：

a)在场方程中，极化场就是辐射场，极化强度即单位体积内总的原子电偶极矩。a为原子偶极矩的正频部分，且是无量纲的。

b)d为原子出现在上、下能级的几率之差。令N`为总原子数，则粒子数差D=N`d，而D0=N`d0，D0即为无光场时的反转粒子数。

c)原子电偶极矩的方程表明，电偶极子一面以角频率震荡，一面按横向弛豫系数衰减。

d)原子电偶极方程中的第三项为光场感应的偶极矩。它会导致光场与二能级原子进行能量交换。光场与原子交换能量取决于原子的状态。上、下能级的几率之差的符号决定能量交换的方向，其大小决定能量交换的多少。

e)反转粒子数方程的第一项表示纵向弛豫或粒子数耗散，方程的第二相代表了光与原子的相干作用，既忽略衰减或耗散时的作用。

1.7基于矩阵法的Maxwell-Bloch方程求解

1.7.1相干瞬态特性

        前面已经提到过，相干瞬态即是光与物质作用的时间远小于弛豫时间，即：t<<T1,T2

        纵向弛豫时间T1表征粒子数的衰减，横向弛豫时间T2表征原子偶极矩或极化强度的衰减。若原子偶极矩为同位相排列，那么经过时间后其位相会变得混乱，故T2称为“解相时间”，如果光与物质相互作用时间t<<T1,T2，则激发粒子数来不及衰减，原子偶极矩或介质极化强度也来不及衰减。这就意味着在相干作用过程中，偶极振荡或极化强度可以看为“无限持续的正弦振荡”即理想的相干振荡。

        在瞬态相干作用中，极化强度和反转粒子数方程对时间的一阶导数均不为0，在t时刻的极化强度不只取决于该时刻的光场，因此不可能求出极化强度于光场的显函数关系。但是，极化强度以及我们之前定义的Bloch矢量却取决于从-∞到t时刻光场的积分值，即：

        研究相干瞬态作用，往往就是求原子的电偶极矩和反转粒子数与其光场积分之间的关系，即计算u(θ),v(θ),w(θ)。

1.7.2假设条件

        尽管M-B方程中含有明确的时间信息，但是根据薛定谔方程的求解经验，以及其与薛定谔方程的衍生关系，可以想象其在一般情况下是没有解析解的。借助薛定谔方程的经验，我们可以将其中的时间信息加以简化，即令：

或

        一般来说，光场和极化强度都是时间和空间的函数，应该用Maxwell方程描述场随时间变化以及传播的效应。但是，如果将瞬态相干作用的物质看作“薄样品”,则可忽略光场随时间和空间的变化，即将光场看为常数。这称为“薄样品近似”。

        这个近似方法有明晰的物理假设意义，即是假设系统中粒子本身的跃迁频率是与时间无关的，系统的弛豫动力学行为是由纵向和横向弛豫时间两个量来描述的。但要注意的是，这两个量是唯象引入的。

        此外，对于场而言，此方法也假设了场对粒子体系的作用仅限于对能级的影响。而不考虑对其跃迁频率的影响。

        对作为系统的宏观物质来说，所谓“薄样品”,也是忽略了介质对光的吸收、折射、散射等作用，对于 光的偏振方向的影响也不予以考虑。

        将这些假设应用于方程之中，可以得出理想状况下M-B方程的解，这个解有着重要的意义。

1.7.2矩阵方法

Maxwell-Bloch方程解的矩阵表示

应用上面提到过的假设条件，考虑极化强度与Bloch矢量的关系：

之后将场方程写成实部和虚部，可得到描述瞬态相干效应的M-B方程：

        μ为极化单位常数，u和v分别为原子电极化强度矢量的实部与虚部，w为二能级系统的反转粒子数几率，w0为无外场时的反转粒子数几率，ω为二能级系统的辐射跃迁频率，ω为外加电场的频率，T2、T1分别为系统横向和纵向驰豫时间。

其中的Bloch方程组通常没有解析解，但在假设T＝T1＝T2时，上述方程组的解可表达为：

其中M(t)＝u(t)、v(t)或w(t)，A、B、C、D为待定系数。

我们假设：

a)无外场时，反转粒子数为0；

b)定态时u=v=0。

此外，非共振Rabi频率为：

共振Rabi频率为：

.

另设：δ=ω-ω；

应用此条件解微分方程组，则Bloch方程组的解可以表述为：

其中t=t0为初态，u、v、w为Bloch矢量的三个分量，则以上三个解的表达式可以用一个矩阵来表示：

其中

        则M即为从t0态向t1态的变换矩阵，M可以表示为：

        此即为用光学Bloch方程描述系统，用Maxwell方程描述光场，得到的M-B方程的解的矩阵形式。

1.7.2.1矩阵法分析二脉冲光子回波

        光子回波指非均匀加宽介质受到面积为π/2的激光共振脉冲预置后，经过τ时间后样品再次被面积为π的第二个激光共振脉冲辐照，则在第二个脉冲结束后经过同样的τ时间，样品将会辐射一个光脉冲，此脉冲相当于第一个激光光脉冲的“回波”，故称光子回波。

光子回波的条件为：

a)第一个光脉冲持续时间t`=t1-t0，第二个光脉冲t2`=t2-t0，两脉冲时间间隔为t2-t1；

b)两脉冲为短脉冲，面积分别为:

其中ΩR`>>δ。

c)初始时刻

即

经过π/2脉冲后，系统状态变为B(t1)：

由于|t1-t0|<<T，所以B(T1)=M1B(t0)，且将上面提到的条件代入可得：

这里M1表示了π/2脉冲的性质，称为π/2脉冲特征矩阵。

在接下来的π脉冲过程之前，又有自由感应衰减过程。

在t1<t<t2过程中：

则有：

即自由感应衰减过程矩阵。

在t2<t<t3过程中：

将条件代入，有：

此即为脉冲特征矩阵。

在t>t3过程中：

此时对应条件可直接写出：

仍为自感应衰减过程矩阵。

于是可以得到：

设τ=t-t3，经过矩阵运算，可以得到τ：

        因为已经假设定态时：u=v=0，即初态时u(t0)=v(t0)=0，故矩阵的前两列无贡献，但初态时已经产生粒子数反转，即w(t0)不为0。

由此即可得到：

此即为光子回波过程的Bloch矢量。

特殊的，当系统处于共振状态时：

所以：

此即：

此时的极化强度：

1.7.2.2矩阵法分析光学章动

        光学章动的求解依赖于光学Bloch方程的定态解，我们先求出其定态解。

在定态条件下：

故有：

将此代入方程，可以得到：

此为光学Bloch方程的定态解。

入射光与介质共振时，ω-ω=0，反转粒子数出现周期性振荡，是一个正弦振荡，而且其振荡频率是Rabi频率，此时的激发光就受到一个正弦调制，仍然在T1=T2=0的情况下，方程的解变为：

其中u0，v0，w0为其定态解。

可得共振特征矩阵为：

        由于激发光透射系数还要通过一个阻尼调制达到稳态。故在方程解中唯象的引入一个阻尼项。

则得到光学章动特征矩阵：

则可得状态变换矩阵：

所以光学章动的Bloch矢量为：

        值得一提的是我们唯象引入的衰减系数α。阻尼振荡的总时间是由介质的横向弛豫时间决定的，是经过一定的弛豫振荡过程而达到稳态。另外，光的非线性展宽、跃迁频率也都与衰减系数有关，衰减系数与跃迁频率的平方成正比，与多普勒展宽的平方成反比。

1.7.2.3矩阵法分析自感应衰减过程

        自感应衰减的情况是与二能级系统处于平衡状态的激光突然被关掉，共振Rabi振荡消失，非共振Rabi振荡频率就是δ，将此条件代入，此时：

其中δ`=δ+Δω，Δω为Stark频移。

这就是自由感应衰减过程的矩阵模型。

        B为原子系统状态的矢量，B(t0)表示初时刻的原子系统状态，B(t)表示经过瞬态相干作用到t时刻的原子系统状态，可见M为表征瞬态相干过程的变换矩阵，表示外加场与物质的相互作用，不同的瞬态过程对应有不同的矩阵。

2.光存储光子晶体物理形式

        光子晶体的制备可以由3D打印形式得到，其一个正截面为薄UPE（金属材质也可能可行）的膜，膜表面由激光穿出尺度为nÅ的小孔，每个小孔间距为mÅ（n、m均不大于100）。由此膜进行折叠或层叠，形成可封装的3D晶体形式。