第五天. 非均匀离散傅里叶变换

分析第四天中用到的傅里叶变换, 发现我们的采样点间隔总是0.2秒. 作为实验, 我将演示这个间隔是影响数据的谱的.

均匀傅里叶变换

一个典型的实验是看函数 $f(x)=\sin(100 \times (2\pi x))$ , $x\in[0,1]$ 的谱. mma代码如下:

n = 400;
pos=Sort[Table[i/n, {i, n}]] // DeleteDuplicates;
testData = Table[N@Sin[100 2Pi x], {x, 0, 1, 1/n}];
ListLinePlot[testData]
ListLinePlot[Abs[Fourier[testData]], PlotRange -> All]

即我们取离散的点列pos, 它是等间距分布在 $[0,1]$ 区间上的. 间隔为 $1/n$ . 其函数图象如下(用直线连接了离散的点):

fourier-uniform-data

而得到的谱为: 频率

100

fourier-uniform-spectrum

我想这些规律都可以从均匀傅里叶变换的公式推导得出:

v_s=\frac{1}{\sqrt N}\sum_{n=1}^N u_ne^{2\pi i(n-1)(s-1)/N}.

其中

u_n

就是数据在第

n

个点处的值, 而

v_s

是

\{u_n\}

的傅里叶变换在

s

位置的值.

容易验证如下规律:

如果函数 $\tilde u_n=C u_n$ , 则 $\tilde v_s=C v_s$ ; 从而其最大值也放大 $C$ 倍;

fun[data_] := Module[
  {fd, mx, pos},
  fd = N[Abs[Fourier[data]]];
  ListLinePlot[fd, PlotRange -> All]
   mx = Max[fd];
  pos = Position[fd, mx][[1, 1]];
  Return[{mx, pos}]
  ]
data1 = Table[Table[i Sin[ 30 2 Pi n/200], {n, 200}], {i, 10}];
Table[fun[data1[[i]]], {i, Length[data1]}] // MatrixForm

如果函数 $\tilde u_n=u_{n+x_0}+y_0$ , 即做平移, 则 $v_s$ 的峰值不会改变;

data2 = Table[Table[Sin[ 30 2 Pi n/200 - i], {n, 200}], {i, 10}];
Table[fun[data2[[i]]], {i, Length[data2]}] // MatrixForm
data3 = Table[Table[Sin[ 30 2 Pi n/200] - i, {n, 200}], {i, 10}];
Table[fun[data2[[i]]], {i, Length[data3]}] // MatrixForm

$u_s$ 的定义域的范围会影响傅里叶变换的峰值位置和大小; 范围扩大 $C$ 倍, 则 $v_s$ 取得最大值的位置也扩大 $C$ 倍, 大小扩大 $\sqrt{C}$ ;

data4 = Table[Table[N[ Sin[30 2 Pi n/200]], {n, i 200}], {i, 10}];
Table[fun[data4[[i]]], {i, Length[data4]}];
fr = %[[1 ;;, 1]];
%% // MatrixForm
gh = ListPlot[fr];
fit = NonlinearModelFit[fr, a s^k, {a, k}, {s}];
% // Normal
fitgh = Plot[fit[x], {x, 1, Length[fr]}, Frame -> True];
Show[{gh, fitgh}]

非均匀傅里叶变换

我们将看到, 对非均匀傅里叶变换, 不能套用均匀傅里叶变换的公式:

n = Floor[4 500./2/Pi];
dpos = Sort[Table[Random[], {i, n}]] // DeleteDuplicates;
(*compare to dpos=Sort[Table[i/n,{i,n}]]//DeleteDuplicates;*)
testDatar = N@Sin[500 dpos ];
ListLinePlot[Abs[Fourier[testDatar]], PlotRange -> All]

non-uniform-fourier-spec

这可以由如下公式修正:

spec[w_?NumericQ] := 
 1/Sqrt[Length[dpos]] Exp[2 Pi I (w - 1) (dpos - 1)].testDatar
Plot[Abs[spec[w]], {w, -300, 300}, PlotRange -> All]

non-uniform-fourier-spec-modify

即我们手动定义了傅里叶变换的公式, 加入了时间变量:

v_s=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n=1}^Nu_ne^{2\pi i (s-1)(p_n-1)},

其中

p_n

就是数据

u_n

对应的时刻.

重新抓取数据

前面提到数据抓取的间隔太大, 这可以由

mSensorManager.registerListener(this, mAccelerometer, 10);

手动指定抓取时间间隔为 $0.01s$ .

希望对新数据可以得到步态的周期.

©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
【社区内容提示】社区部分内容疑似由AI辅助生成，浏览时请结合常识与多方信息审慎甄别。
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

第五天. 非均匀离散傅里叶变换