有学过微积分的读者，不妨先尝试求下面这个定积分：
或许很快就会发现，微积分教科书里面提到的几个积分求解办法，包括换元法（Substitution），分部积分法（Integration by parts）或者部分分式法（Integration by partial fraction）均不能求得上面定积分。这道题实际上是几年前印度理工学院入学考试JEE Advanced的题目之一。该考试的难度甚高，能通过考试并获得录取的学生只有1%不到！！
回到上面积分。这里引入一个读者或许没见过的积分公式：
这个公式很漂亮，首先被积函数里面是由f(x)和其变换后的f(a+b-x)组成的分式。另外，其结果刚好是上限b与下限a之差的一半。利用这个公式来解原来的积分，就变得十分简单。
首先，令 。
于是
(不记得三角函数余角恒等式的读者自己反省一下)。
因此，原定积分可以写成：
十分简洁！！
接下来，我们证明这个积分公式的正确性。
首先，使用换元法，令u = a + b - x。可得x = a + b - u, 以及du = -dx, 即-du = dx。
又有当x = a时，u = b；当x = b时，u = a。因此，原定积分可以换成u为变量的定积分：
现在定积分的上下限颠倒了，但是与du前面的负号结合，又可以颠倒回去，于是：
这一步是证明中最难转过弯来的。首先我们要知道被积函数中的变量成为哑变量（Dummy Variable），它用什么字母根本没关系，因为到最后，它需要被替换成上下限，求反导数值之差。又因为上面换元后定积分的上下限与原定积分一致，即a为下限，b为上限，且a小于等于b。因此，积分值I(x):
因此，这个换元后定积分实质是原定积分的一个等价形式。于是，2I(x)等于这两个等价的定积分相加：
因此，得：
证毕！
