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假设检验的前提是要满足正态分布和方差齐性
组内平方和SSE：同一组内的数据误差平方和
组间平方和SSA：不同组之间的数据误差平方和
单因素方差分析
独立变量的单因素方差分析
一个分类型自变量
例如四个班级学生的语文成绩，班级是分类型自变量，四个班级是自变量的四个水平
data <- read.csv(file = file.choose(),header = TRUE)
attach(data)
results <- aov(scores~classes) ##analysis of variance
summary(results)
TukeyHSD(results) #post hoc multiple comparisons by Tukey Honest Significant Difference
plot(TukeyHSD(results))
测试班级对成绩的影响
Df Sum Sq Mean Sq F value
classes 3 4412 1470.6 16.05
Residuals 116 10631 91.6
Pr(>F)
classes 8.62e-09 ***
Residuals
---
Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
因为p<0.001，说明班级对成绩的影响非常显著
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = scores ~ classes)
$classes
diff lwr upr p adj
B-A 7.466667 1.023566 13.909767 0.0161736
C-A -1.033333 -7.476434 5.409767 0.9752930
D-A -9.633333 -16.076434 -3.190233 0.0009282
C-B -8.500000 -14.943101 -2.056899 0.0044571
D-B -17.100000 -23.543101 -10.656899 0.0000000
D-C -8.600000 -15.043101 -2.156899 0.0039054
图中跨越0分界线的班级对，有较大可能落在0上，也就是说两个班级之间没有明显差异。其他班级说明都有明显差异。
重复次数的单因素方差分析
同一班级在大学三年的三次测试
$ANOVA
Effect DFn DFd SSn SSd
1 (Intercept) 1 29 563429.344 6672.9889
2 tests 2 58 2149.956 992.7111
F p p<.05 ges
1 2448.5956 1.447834e-29 * 0.9865772
2 62.8065 3.063461e-15 * 0.2190333
$`Mauchly's Test for Sphericity`
Effect W p p<.05
2 tests 0.8901137 0.1959912
$`Sphericity Corrections`
Effect GGe p[GG] p[GG]<.05
2 tests 0.9009932 5.878093e-14 *
HFe p[HF] p[HF]<.05
2 0.9570476 1.103178e-14 *
p<0.001，说明学生成绩在大学三年中有显著差异。球形检验的p-value大于0.05，所以可以认为方差相等。
Mauchly's Test for Sphericity：适用于重复测量时检验不同测量之间的差值的方差是否相等，用于三次以及三次之上。
Sphericity Corrections：球形矫正，当方差不相等时进行矫正，矫正方法有the Greenhouse-Geisser (1959), the Huynh-Feldt (1976), 简称GG和HF。
双因素方差分析
独立变量的双因素方差分析
两个分类型自变量
例如探究词汇量和话题熟悉度对学生作文成绩的影响
data <- read.csv(file = file.choose(),header = TRUE)
attach(data)
model <- lm(scores~vocabulary+familiarity+vocabulary:familiarity)
# or model <- lm(scores~vocabulary*familiarity)
summary(model)
results <- aov(model)
summary(results)
Df Sum Sq Mean Sq
vocabulary 2 3758 1878.9
familiarity 1 1203 1203.3
vocabulary:familiarity 2 84 42.1
Residuals 24 434 18.1
F value Pr(>F)
vocabulary 103.90 1.52e-12 ***
familiarity 66.54 2.23e-08 ***
vocabulary:familiarity 2.33 0.119
Residuals
---
Signif. codes:
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
词汇量和话题熟悉度两个变量对成绩的影响都很显著，交互项对成绩影响不显著。
重复变量的双因素方差分析
探究班级和测试次数对学生成绩的影响
data <- read.csv(file = file.choose(),header = TRUE)
attach(data)
results <- ezANOVA(data, dv=.(scores), wid=.(subjects), within=.(tests), between=.(classes), detailed=TRUE)
results
$ANOVA
Effect DFn DFd SSn SSd
1 (Intercept) 1 42 849184.0667 9564.622
2 classes 2 42 18092.9778 9564.622
3 tests 2 84 1456.5778 6977.644
4 classes:tests 4 84 323.1111 6977.644
F p p<.05 ges
1 3728.922060 1.182737e-42 * 0.98089204
2 39.724782 2.069760e-10 * 0.52238632
3 8.767467 3.482406e-04 * 0.08092618
4 0.972439 4.270782e-01 0.01915825
$`Mauchly's Test for Sphericity`
Effect W p p<.05
3 tests 0.7210658 0.001225986 *
4 classes:tests 0.7210658 0.001225986 *
$`Sphericity Corrections`
Effect GGe p[GG]
3 tests 0.7819011 0.001109168
4 classes:tests 0.7819011 0.413796347
p[GG]<.05 HFe p[HF] p[HF]<.05
3 * 0.8067461 0.000971576 *
4 0.8067461 0.415548681
班级和测试次数在原始检验中都很显著，然后交叉项不显著。
但是在球形检验中，推翻了方差齐性的假设，所以tests需要使用球形矫正之后的p值，classes不用。
矫正之前tests的p-value = 3.482406e-04，矫正之后的p-value = 0.001左右。
