存在无穷多个梅森素数

早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究 $2^{p}-1$ 的先河.他在名著《几何原本》第九章中论述完全数时指出：如果 $2^{p}-1$ 是素数，则 $2^{p-1}(2^{p}-1)$ 是完全数.

由于马林·梅森是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究 $2^{p}-1$ 型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为 “梅森数”，并以 $M_{p}$ 记之（其中 $M$ 为梅森姓名的首字母），即 $M_{p}=2^{p}-1.$ 如果梅森数为素数，则称之为 “梅森素数”（即 $2^{p}-1$ 型素数）.

小时候，我们可能都有过一些天真的想法，比如（像夸父逐日那样）一直往前走会怎样呢？这是人类追求极限探索世界最初的想法. 梅森素数就像那个奥妙无穷的世界的浓缩，由于这种素数具有着独特的性质（比方说和完全数密切相关）和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多数学家（包括欧几里得、费马、欧拉等）和无数的数学爱好者对它进行探究.

$2017年12月26日$ ，美国田纳西州日耳曼敦的GIMPS志愿者乔纳森·佩斯 $(Jonathan Pace)$ 发现了第 $50$ 个梅森素数 $2^{77232917}－1.$ 这个超大素数有 $23249425$ 位数，再次刷新了已知最大素数纪录.

是否存在无穷多个梅森素数是数论中未解决的"著名"难题之一.

下面来证明：

存在无穷多个梅森素数

引理：若 $n>1,a^{n}-1$ 是素数，则 $a=2,n$ 是素数

证明：
当 $n>1$ 时，若 $a>2$ 则
由 $a^{n}-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+a^{n-3}+...+a+1)$
可知 $a^{n}-1$ 是合数，所以 $a=2$
若 $n$ 是合数， $n=xy,x>1,y>1 ,$ 于是
由 $2^{xy}-1=(2^{x}-1)(2^{x(y-1)}+2^{x(y-2)}+2^{x(y-3)}+...+1)$
以及 $2^{x}-1>1$ 可知 $2^{n}-1$ 是合数.
所以 $2^{n}-1$ 是素数时， $n$ 必是素数.

再证：下面塔形数， $T_{n+1}=2^{T_{n}}-1,T_{1}=2$ 中每个 $T_{n} (n\rightarrow\infty )$ 都是素数，所以，梅森素数有无穷多个.

$2^{2^{2^{\sim^{2^{2}-1}\sim}-1}-1}-1$

证明：
假设有下列塔形数是素数， $a$ 有任意个，求 $a$ 的值
$a^{a^{a^{\sim^{a^{a}-1}\sim}-1}-1}-1$
根据引理可知： $a=2,$ ( $a\ne2$ 塔形数是合数)
一个大于1的自然数不是素数就是合数，这里用排中律。
若塔形数是素数则 $a=2 ，$
若塔形数是合数则 $a\ne2 ,$
所以 $a=2$ 时塔形数是素数.

如果你想不通的话，可以这样想：
假设 $a^{a}-1$ 是素数，求 $a$ 的值，求得 $a=2;$
再假设 $a^{a^{a}-1}-1$ 是素数，求 $a$ 的值，求得 $a=2;$
$......$ 如此下去，
若无论 $a$ 是多少个的塔形数是素数， $a=2 .$ 在假设它是素数的情况下求得了 $a=2.$
反过来， $a=2$ 时，无论 $a$ 是多少个，该塔形数都是素数, $T_{n+1}=2^{T_{n}}-1,n>1$ 都是梅森素数，所以，梅森素数有无穷多个.
$2^{2}-1=3$
$2^{3}-1=7$
$2^{7}-1=127$
$2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727$

所以 $2^{170141183460469231731687303715884105727}-1$ 是素数，第 $51$ 个梅森素数找到了，它有 $\left[ 170141183460469231731687303715884105727\log_{10}2+1\right]$ 位数.

因梅森素数是无穷多的，所以完全数也是无穷多的.

$2^{7}-1=127=\cdot\cdot\cdot27,$
$2^{27}-1=\cdot\cdot\cdot727,$
$2^{727}-1=\cdot\cdot\cdot3727,$
$2^{3727}-1=\cdot\cdot\cdot73727,$
$2^{73727}-1=\cdot\cdot\cdot673727,$
$2^{673727}-1=\cdot\cdot\cdot7673727,$
$2^{7673727}-1=\cdot\cdot\cdot57673727,$

这个8位数就是塔形素数 $2^{2^{2^{2^{2^{2^{127}-1}-1}-1}-1}-1}-1$ 的末8位数.

补充说明：
因 $2^{2^{n}-1}-1$ 不一定是素数，可以是 $2$ 基伪素数，即使 $2^{n}-1$ 是素数. 所以在设计 (构造) 塔形数时只能是一个未知数（不能是两个）, $a$ 到顶，不能设塔顶是 $n$ ,像这样：

$a^{a^{a^{\sim^{a^{n}-1}\sim}-1}-1}-1$

这样只能求得 $a=2,n$ 为素数，反过来不一定成立.
即 $n$ 为素数时该塔形数不一定是素数.
只有一个未知数时反过来必然成立.
即
$2^{2^{2^{\sim^{2^{2}-1}\sim}-1}-1}-1$
一定是素数.
编程的朋友可以验证一下，不会错的.
证明于2016年10月30日

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引理：若 是素数，则 是素数

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