知识小结：磁场和磁力

磁力的规律

洛仑兹力 $\vec F_m=q\vec v\times \vec B$

相对论不变形式 $\frac {\mathrm d\vec p}{\mathrm d t}=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$
安培力 $\mathrm d\vec F=I\mathrm d\vec l\times\vec B$
磁矩 $\vec m=I\vec S$

力矩 $\vec M=\vec m\times\vec B$

对以 L 为周界的任意曲面 S，规定其法向与 L 绕向成右手关系

磁场的规律

毕奥萨伐尔定律 $\mathrm d\vec B=\frac{\mu_0I\mathrm d \vec l\times\vec e_r}{4\pi r^2}\Leftrightarrow dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm dlsin\alpha}{r^2}$

真空管磁导率 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}T·m/A$
安培（力）定律 $\mathrm d\vec F_{1\rightarrow 2}=I_2\mathrm d\vec l_2\times\mathrm d\vec B_1$

两闭合稳恒电流圈之间的力满足牛 III 定律
场源（电荷、电流元等）的动量＋所激发的场的动量是守恒的
毕 — 萨定律和安培定律是实验的总结，但无法用实验直接验证其正确性

基本定理

$\vec B$ 的高斯定理 — 磁通连续原理 $\nabla· \vec B=0$
安培环路定理 $\oint_{L}\vec B·\mathrm d \vec l=\mu_0\Sigma I_{内}$

安培环路定理只适用于稳恒电流情况 — 闭合或伸展到 $\infin$ 远

磁场分布例

无限长载流密绕直螺线管或螺绕环 $B_内=\mu_0nI,B_外=0$
载流直导线段 $B=\frac{\mu_0I}{4\pi r}(cos\theta_1-cos\theta_2)$
无限长载流直导线（ $\theta_1\rightarrow 0,\theta_2\rightarrow\infin$ ） $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$
载流圆圈中心 $B_0=\frac{\mu_0I}{2R}$ 中轴线 $B_轴=\frac{\mu_0IS}{2\pi(R^2+x^2)^{3/2}}$

亥姆霍兹线圈 :相距R的两个平行电流圆环，环间轴线磁场近似均匀
磁矩（小电流圈） $\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}[\frac{3(\vec r·\vec m)\vec r}{r^2}-\vec m]$ 势能 $W=-I\vec S·\vec B_外$

力矩会使磁矩的空间取向尽量保持与外磁场方向一致， $\vec m||\vec B$ 时势能最低
无限大均匀平面电流（面密度i为面上通过垂直于电流方向的单位长度上的电流） $B=\frac{\mu_0i}2$
无限长均匀载流薄圆筒 $B_内=0,B_外=\frac{\mu_0I}{2\pi r}=\mu_0 i$
在有面电流分布的界面两侧，磁感应强度 B 会发生跃变。

霍耳效应

霍耳电势差 $U_H=\frac{IB}{ntq}=K_H\frac{IB}t$

霍耳系数 $K_H=\frac 1{nq}$
- 半导体n小，霍尔效应强
- 空穴正，电子负
霍耳电阻 $R_H=\frac{U_H}I=\frac B{nqt}\propto B$
霍耳元件应用
- 可测大电流
- 可测磁感应强度
- 可将非电量测转化为电量测，如测量微小位移等
电阻张量（考虑 $I_x\neq0, I_y=0$ ）
- $\begin{pmatrix}U_x\\U_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}R_{xx}&R_{xy}\\R_{yx}&R_{yy}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_x\\I_y\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}U_x=I_xR_{xx},&G_{xx}=\frac {R_{xx}}{R_{xx}^2+R_{yx}^2}\\U_y=I_xR_{yx},&G_{xy}=\frac {R_{yx}}{R_{xx}^2+R_{yx}^2}\end{cases}$
  
  R_xx纵向电阻，R_yx霍耳电阻，G_xx纵向电导，G_xy霍耳电导
- 一般 $R_{yx}<<R_{xx},G_{xx}=\frac 1{R_{xx}};G_{xy}=\frac{R_{yx}}{R_{xx}^2}$

磁聚焦

$\theta$ 不大、v几乎相同时，粒子束可形成磁聚焦
$R=\frac{mv_\bot}{qB},T=\frac{2\pi m}{qB},d=v_{//}T=\frac{2\pi m}{qB}vcos\theta$

回旋加速器

粒子能量 ~ 10MeV，B ~ 1T，R ~ 1m
$v_max=\frac{qBR}m$

质谱仪

粒子经滤速器B,E沿半圆周运动到达照相底片上形成谱线
$m=\frac{qB_0Bx}{2E}$

磁约束

横向约束
磁场很强 ~ T 量级时，带电粒子的回转半径很小，将沿着“管径” 很小的一束磁感应线运动。
纵向约束
带电粒子从磁场较弱区向较强区回转前进时会受到阻力，被限制在一定的径向范围内来回运动。

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